Дополнительные задачи по линейной алгебре, Арутюнов А.А., Ершов А.В., 2017

Дополнительные задачи по линейной алгебре, Арутюнов А.А., Ершов А.В., 2017.

   Учебное пособие содержит задачи с решениями и теоретическим пояснениями по курсам Линейная алгебра и Алгебра и геометрия, изучаемым на 1 курсе МФТИ. Многие задачи снабжены комментариями, содержащими дополнительный материал, объясняющий их связи с современной математикой и ее приложениями в физике.
Предназначено для студентов МФТИ, а также для студентов физико-математических специальностей, изучающих линейную алгебру, и преподавателей, ведущих занятия по линейной алгебре.




О бесконечномерном случае.
Настоящая работа посвящена преимущественно случаю конечномерных линейных пространств, которые и являются предметом рассмотрения курса линейной алгебры. Бесконечномерные линейные пространства заметно отличаются по своим свойствам от конечномерных и изучаются в курсе функционального анализа. В прикладных задачах и других математических дисциплинах бывают нужны и конечномерные, и бесконечномерные пространства, поэтому предостережем читателя от скоропалительных суждений о “полезности” тех или иных изучаемых разделов математики. Отметим только, что в любой параграф настоящего пособия можно добавить ссылки на самые современные работы, посвященные решению конкретных прикладных задач, в которых используются средства линейной алгебры. То же самое можно сделать и с функциональным анализом.

Приведем, однако, некоторые примеры отличия бесконечномерных пространств от конечномерных. Первые проблемы начинаются уже с понятием базиса пространства.

Пусть V — некоторое векторное пространство, не являющееся, вообще говоря, конечномерным. В линейной алгебре базисом в V называется семейство векторов из V такое, что произвольный вектор v - V однозначно представляется в виде конечной линейной комбинации векторов из этого семейства. Однако в функциональном анализе обычно рассматривают векторные пространства (над полями С или R) с дополнительными структурами (такими как норма), которые позволяют придавать смысл некоторым бесконечным линейным комбинациям, как мы сейчас продемонстрируем.

Оглавление.
0. Некоторые определения.
0.1. Отношение эквивалентности.
0.2. Группы.
0.3. Действия групп.
0.4. Кольца, поля, векторные пространства и алгебры.
1. Линейные пространства.
1.1. Линейные подпространства, прямые суммы.
1.2. Векторные пространства над конечными нолями.
1.3. Линейные преобразования и их матрицы.
2. Линейные операторы.
2.1. Структура линейного преобразования.
2.2. Комплексификация.
2.3. Факторпространство и фактороператор.
2.4. Жорданова нормальная форма.
3. Евклидовы и эрмитовы пространства.
3.1. Билинейные и квадратичные функции.
3.2. Линейные преобразования евклидовых пространств.
3.3. Билинейные и квадратичные функции в евклидовых пространствах.
3.4. Полярное разложение.
3.5. Сингулярное разложение и норма оператора.
3.6. Псевдообратная матрица.
4. Тензоры.
4.1. Универсальные свойства в линейной алгебре.
4.2. Универсальное свойство тензорного произведения.
4.3. Тензорное произведение линейных отображений.
4.4. Канонические изоморфизмы.
4.5. Тензоры малых рангов.
4.6. Координатная запись тензоров.
4.7. Еще о канонических изоморфизмах.
5. Приложение.
5.1. Примеры отношений эквивалентности.
5.2. Элементы теории представлений.
5.3. О бесконечномерном случае.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дополнительные задачи по линейной алгебре, Арутюнов А.А., Ершов А.В., 2017 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: задачник по алгебре :: алгебра :: Арутюнов :: Ершов