Алгебра и теория чисел, Сборник задач для математических школ, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., 2009

Алгебра и теория чисел, Сборник задач для математических школ, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., 2009.

   Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов с углубленным изучением математики, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Основу сборника составляют задачи к курсу алгебры, который читался в школе-интернате им. А. Н. Колмогорова при МГУ им. М. В. Ломоносова в 1995—2000 годах.




Примеры.
Примените два раза неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: сначала к числам, а потом к их показателям.

Будем считать, что система линейных уравнений составлена относительно неизвестных φ1,...φ2n (потенциалов в узлах сети). В этом случае равенства, составленные для токов по второму правилу Кирхгофа будут выполняться автоматически. Таким образом, система будет состоять из п уравнений, составленных по первому правилу Кирхгофа. Если она будет иметь два решения, то, вычитая одно из другого, получим нетривиальное решение однородной системы (с нулевыми потенциалами на батарейках). Выберем тот узел, в котором потенциал максимален (или минимален). Тогда из этого узла токи будут только вытекать (втекать), что будет противоречить соответствующему уравнению, составленному по первому правилу Кирхгофа. Существование решения системы вытекает из его единственности (см. альтернативу Фредгольма из задачи 9.114).

Оглавление
Предисловие
Обозначения
1. Метод математической индукции
1.1. Тождества, неравенства и делимость
1.2. Индукция в геометрии и комбинаторике
2. Комбинаторика
2.1. Сложить или умножить?
2.2. Принцип Дирихле
2.3. Размещения, перестановки и сочетания
2.4. Формула включений и исключений
2.5. Числа Каталана
3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
3.1. Простые числа
3.2. Алгоритм Евклида
3.3. Мультипликативные функции
3.4. Числа Фибоначчи  
3.5. Цепные дроби
3.6. Континуанты
4. Арифметика остатков
4.1. Четность
4.2. Делимость
4.3. Сравнения
4.4. Теоремы Ферма и Эйлера
4.5. Признаки делимости
4.6. Китайская теорема об остатках  
5. Числа, дроби, системы счисления
5.1. Рациональные и иррациональные числа
5.2. Десятичные дроби
5.3. Двоичная и троичная системы счисления  
6. Многочлены
6.1. Квадратный трехчлен
6.2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу
6.3. Разложение на множители
6.4. Многочлены с кратными корнями
6.5. Теорема Виста
6.6. Интерполяционный многочлен Лагранжа  
7. Комплексные числа
7.1. Комплексная плоскость
7.2. Преобразования комплексной плоскости
7.3. Целые гауссовы числа
8. Алгебра + геометрия
8.1. Геометрия помогает алгебре
8.2. Комплексные числа и геометрия
8.3. Тригонометрия
9. Уравнения и системы
9.1. Уравнения третьей степени
9.2. Тригонометрические замены
9.3. Итерации
9.4. Системы линейных уравнений
10. Неравенства
10.1. Различные неравенства
10.2. Суммы и минимумы
10.3. Выпуклость
10.4. Симметрические неравенства
11. Последовательности и ряды
11.1. Конечные разности
11.2. Рекуррентные последовательности  
11.3. Производящие функции
11.4. Многочлены Гаусса  
12. Шутки и ошибки Ответы, указания, решения
Глава 1  
Глава 2  
Глава 3  
Глава 4  
Глава 5  
Глава 6  
Глава 7  
Глава 8  
Глава 9  
Глава 10
Глава 11
Глава 12
A. Программа курса
B. Источники задач и ссылки на дополнительную литературу
C. Формулы и числа
I. Греческий алфавит
II. Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи
III. (1, 2)-треугольник Паскаля и числа Люка
IV. Константы
V. Десятичные периоды дробей 1/р  
VI. Первые 20 греческих числовых приставок
VII. Последовательности
VIII. Многочлены
IX. Основные тригонометрические тождества
X. Таблица простых чисел
XI. Таблица квадратов  
Литература
Предметный указатель.

Купить .





Теги: задачник по алгебре :: алгебра :: Алфутова :: Устинов