Лекции по высшей математике, Осипов А.В., 2014

Лекции по высшей математике, Осипов А.В., 2014.

   Книга является конспектом лекций, которые читаются автором студентам нематематических специальностей. Программа курса реализуется в течение трех семестров (3 часа лекций и 3 часа практических занятий в неделю). Однако содержание конспекта несколько шире, поскольку часть материала (например, уравнения старших порядков) не входит в эту программу.
Книга снабжена задачами для практических занятий. Разумеется, каждый преподаватель имеет достаточное количество собственных интересных задач и может строить программу практических занятий по собственному усмотрению, однако задачи в настоящем конспекте подсказывают студентам, что их может ожидать на экзамене.
Как правило, к задачам приводятся ответы или указания к решению (в конце каждой главы). В таких случаях над номером задачи ставится небольшой кружочек (например, 1°). Если задача потруднее (что встречается не слишком часто), то над номером ставится звездочка (например, 7*). Если звездочка стоит перед заголовком раздела, то этот раздел можно пропустить без ущерба для понимания дальнейшего материала.
Учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки «Геология», «География», «Социология», «Психология», «Экономика» и «Менеджмент».




Разговор о логике, который можно пропустить.
Логики бывают разные: бытовая логика, «железная», диалектическая и другие. Существует логика того языка, на котором мы говорим, и эта логика подчиняется другим законам, нежели математическая. Например, истинность отрицания отрицания далеко не всегда совпадает с истинностью самого высказывания, принадлежность на бытовом языке означает не то же самое, что принадлежность в математической логике, и так далее.

Но главное, что различает эти логики, — это формальная цель, правила вывода и критерий возможности их использования. Для математической логики таким критерием являются формальные понятия истины (и) и лжи (л), а целью — выводимость формул. Для логики факта, например, критерием является «было» или «не было», а целью — построение той или иной классификации фактов. Для логики убеждений, с которой, к сожалению, мы сталкиваемся чаще, чем с другими типами логик, целью является победа в споре, а используемые правила считаются хорошими (корректными в рамках данной логики), если они достигают этой цели.

Логики различаются и используемыми языками; и принципиальное различие между языком математической логики и языком человеческого общения состоит, в частности, в том, что первый оперирует с так называемыми атомами, элементарными высказываниями, о которых мы можем договориться: истинны они или ложны. Во втором же случае мы работаем с понятиями, которые далеко не всегда конечнозначны и, более того, как правило, имеют множество неустранимых оттенков.

Содержание.
Общие сведения.
1. Множества и операции с ними.
Объединение и пересечение множеств.
Дополнение к множеству.
Разность множеств.
2. Функции.
3. Логические функции.
Функции на двухточечном множестве.
Разговор о логике, который можно пропустить.
Атомарные высказывания.
Сложное высказывание.
Высказывания и высказывателные функции.
4. Метод математической индукции.
5. Элементы комбинаторики.
6. Конечные и бесконечные множества.
Натуральный ряд.
Простая арифметика.
Счетные и несчетные множества.
Мощность множества.
Предел и производная.
1. Последовательности.
Простейшие свойства последовательностей.
Предел последовательности.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Число e.
Рекуррентные последовательности.
2. Предел функции. Непрерывность.
Замыкание множества.
Предел функции.
Эквивалентные функции.
Символ Ландау.
Определение предела на языке последовательностей.
Непрерывность функции.
Точки разрыва.
3. Производная.
Приращение функции, производная и дифференциал.
Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к графику функции.
Пример непрерывной функции, не имеющей производной.
4. Монотонность и экстремумы.
Монотонность и неравенства.
Экстремумы.
5. Правило Лопиталя и формула Лейбница.
Вторая производная.
6. Выпуклые функции и неравенства.
Неравенство n точек.
Касательные к выпуклым функциям и неравенства.
Неравенство Йенсена.
7. *Выпуклые множества.
Треугольник Рело.
8. Графики функций.
План полного исследования функции.
Асимптоты.
Построение графиков дробно-рациональных функций.
9. Кривые, заданные параметрически.
Кривые в полярных координатах.
Параметризация кривых, заданных неявно.
Матрицы и линейные системы.
1. Матрицы и операции с ними.
Перемножение матриц.
Определитель квадратной матрицы.
2. Системы линейных уравнений.
Метод Гаусса.
Плавило Кpамеpа.
Обратная матрица.
3. Комплексные числа.
Геометрическое представление комплексных чисел.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Экспоненциальное представление.
Дополнительные главы.
1. Решение уравнений большой степени.
Решение кубических уравнений.
Решение уравнений четвертой степени.
2. Несколько оптимизационных задач.
Интеграл.
1. Неопределенный интеграл.
Первообразная и класс первообразных.
Неопределенный интеграл.
Замена переменных в неопределенном интеграле.
Интегрирование дроби с квадратичным знаменателем.
Интегрирование по частям.
Интегралы от тригонометрических функций.
Интегралы от дробно-рациональных функций.
2. Определенный интеграл.
О мере и измеримости.
Интегральные суммы.
Свойства определенного интеграла.
3. Несобственные интегралы.
Интегралы по бесконечному промежутку.
Несобственные интегралы II рода.
Теоремы о сходимости несобственных интегралов.
Ряды.
1. Конечные суммы.
Некоторые способы суммирования.
2. Числовые ряды.
Основные определения.
Ряды с неотрицательными членами.
Асимптотическое поведение частичных сумм.
Сходимость специального ряда.
Знакопеременные ряды.
Признак Лейбница сходимости несобственных интегралов.
3. Степенные ряды.
Ряд Тейлора.
Биномиальный ряд.
Многочлен Тейлора и остаточный член в форме Лагранжа.
Прямая на плоскости.
1. Линейная функция.
Прямая на плоскости как график линейной функции.
Общее, или симметричное, уравнение прямой.
Нахождение биссектрисы, высоты и медианы.
Косое произведение векторов.
Другие виды уравнений прямой.
Линейная интерполяция.
2. Оценка рентабельности инвестиций.
Кривые второго порядка.
1. Характерные примеры.
Общее уравнение кривых второго порядка.
Функции нескольких переменных.
1. Основные понятия.
Предел функции и непрерывность.
Частные производные.
Частные производные полярных функций.
Линии уровня и градиент.
2. Экстремумы.
3. Условные экстремумы.
Принцип Ферма – Снелла.
Глобальные (абсолютные) экстремумы.
4. Метод наименьших квадратов.
5. Двойные интегралы.
6. Отображения и замены переменных.
Матрица Якоби.
Кривые на плоскости (n = 1, m = 2).
Функции, определенные на кривой.
Отображения плоскости на плоскости (n = 2, m = 2).
Замены переменных.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Теорема Пеано.
Единственность и интегральная непрерывность.
2. Уравнения первого порядка.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Линейное уравнение.
Уравнение Бернулли.
Уравнение Риккати.
Однородное уравнение.
Уравнение в полных дифференциалах.
3. Линейные уравнения.
Общие сведения.
Уравнения с постоянными коэффициентами.
Метод Лагранжа для линейных уравнений.
Замена независимой переменной.
Теорема Штуpма и уравнение Эйри.
4. Уравнения Лагpанжа и Клеpо.
5. Автономные уравнения и системы.
6. Устойчивость решений.

Купить .





Теги: учебник по высшей математике :: высшая математика :: Осипов