Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, Бибиков Ю.Н., 2011

Курс обыкновенных дифференциальных уравнений, Бибиков Ю.Н., 2011.

   Пособие содержит все традиционные разделы курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Большое внимание уделено вопросам существования, единственности и продолжаемости решений, зависимости их от начальных данных и параметров. В теории линейных уравнений и систем дополнительно рассматриваются системы с периодическими коэффициентами, функция Грина краевой задачи. Излагаются разделы по теории дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями и по теории устойчивости движения.
Учебное пособие предназначено для студентов математических, физических и технических направлений подготовки.




Механическая интерпретация нормальной системы.
Первоначальным стимулом к изучению дифференциальных уравнений явился тот факт, что уравнения движения механических систем принимают вид нормальной системы дифференциальных уравнений, если за неизвестные функции взять обобщенные скорости и координаты. При этом роль независимой переменной играет время. Каждому решению нормальной системы соответствует движение механической системы. Если область, в которой определены дифференциальные уравнения, есть область единственности, то процессы детерминированы. Траектория — это путь, по которому в фазовом пространстве движется точка, соответствующая механической системе. Название «положение равновесия» (или «точка покоя») приобретает ясный механический смысл. Традиционная механическая терминология и обозначения сохранились в теории дифференциальных уравнений до настоящего времени. Следуя этому, в дальнейшем будем называть независимую переменную временем и обозначать через t, фиксированные значения t — моментами времени.

Содержание.
Предисловие.
Основные обозначения.
Глава I Дифференциальные уравнения первого порядка.
§1. Общие положения.
§2. Теорема существования.
§3. Теорема единственности.
§4. Общее решение.
§5. Дифференциальные уравнения первого порядка в симметричной форме
§6. Интегрирующий множитель.
§7. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Глава II Нормальные системы дифференциальных уравнений. Вопросы существования решений.
§1. Вспомогательные сведения.
§2. Системы дифференциальных уравнений. Общие положения.
§3. Теорема существования и единственности.
§4. Продолжение решений.
§5. Системы дифференциальных уравнений общего вида.
§6. Автономные системы.
Глава III Линейные дифференциальные уравнения.
§1. Общие положения.
§2. Линейные однородные уравнения.
§3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
§4. Линейные неоднородные уравнения.
Глава IV Линейные системы дифференциальных уравнений.
§1. Линейные однородные системы.
§2. Фундаментальные матрицы.
§3. Подобные матрицы.
§4. Функции от матриц.
§5. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
§6. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами
§7. Линейные неоднородные системы.
§8. Краевая задача.
§9. Ограниченные решения линейных систем.
Глава V Общие свойства решений систем дифференциальных уравнений.
§1. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров.
§2. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам.
§3. Периодические решения квазилинейных систем.
§4. Автономные системы на плоскости.
§5. Общее решение.
§6. Общий интеграл.
Глава VI Аналитические нормальные системы дифференциальных уравнений.
§1. Аналитические функции нескольких переменных.
§2. Аналитичность решений по начальным данным и параметрам.
§3. Метод малого параметра.
§4. Аналитичность решений как функций независимой переменной.
§5. Аналитическое продолжение решений.
§6. Изолированные особенности линейной однородной системы.
§7. Регулярная особенность линейного однородного уравнения второго порядка.
§8. Линеаризация автономной системы в окрестности положения равновесия.
Глава VII Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.
§1. Устойчивость в малом.
§2. Устойчивость по Ляпунову.
§3. Устойчивость периодических решений квазилинейных уравнений в критических случаях.
§4. Параметрический резонанс.
§5. Второй метод Ляпунова.
Глава VIII Метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений.
§1. Формальная и аналитическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений.
§2. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений.
§3. Автономные системы на плоскости в окрестности положения равновесия.
§4. Нормальная форма на инвариантной поверхности.
§5. Первый метод Ляпунова.
§6. Аналитическое семейство периодических решений.
§7. Бифуркация рождения периодических решений.
§8. Нормальная форма периодической системы.
§9. Критический случай одного равного нулю характеристического показателя. Алгебраический случай.
§10. Критический случай одного нулевого характеристического показателя. Трансцендентный случай.
Дополнение. Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Бибиков