Введение в теорию схем и квантовые группы, Манин Ю.И., 2020

Введение в теорию схем и квантовые группы, Манин Ю.И., 2020.
 
  Язык «пучков с нильпотентами» — неотъемлемая часть багажа современного математического физика, особенно изучающего или использующего приложения суперсимметрий.
Книга содержит обработанную запись двухгодового курса лекций Ю.И. Манина по теории схем Гротендика — геометризации коммутативной алгебры. Изложение исключительно прозрачно и доступно студентам второго курса математических факультетов и чуть более старших курсов — физических.
Добавленная в этом издании глава (третья) содержит фрагменты еще одного курса Ю. И. Манина по алгебраической геометрии, демонстрирующего, как «работает» теория схем и когомологий пучков в более сложных ситуациях.
Несуществующая пока некоммутативная геометрия — наука, изучающая некоммутативные алгебры «функций на том, что мы пока не умеем определить». Четвертая глава книги излагает введение в теорию квадратичных алгебр и квантовых групп — раздел некоммутативной геометрии, возникший из примеров и теории интегрируемых динамических систем. Квантовые группы описывают (до этих лекций неизвестные) симметрии обычных пространств, гораздо большие, чем те, что описывают группы Ли.




АФФИННЫЕ СХЕМЫ.
В первой главе наша цель — практически научить читателя геометрическому языку коммутативной алгебры. Необходимость излагать алгебраический материал отдельно и затем «применять» его к алгебраической геометрии постоянно обескураживала геометров: О. Зарисский и П. Самюэль очень выразительно пишут об этом в предисловии к книге «Коммутативная алгебра» [15].

Появление теории схем А. Гротендика открыло счастливую возможность вообще не проводить границу между «геометрией» и «алгеброй» — они выступают теперь как дополнительные аспекты единого целого, подобно многообразиям и пространствам функций на них в других геометрических теориях.

С этой точки зрения коммутативная алгебра совпадает с теорией локальных геометрических объектов — аффинных схем (вернее, функториально ей двойственна).

Расшифровка последней фразы и составляет содержание главы. Я попытался последовательно объяснить, какого рода геометрические представления должны быть связаны, скажем, с примерным разложением, модулями и нильпотентами. По словам Андрэ Вейля, пространственная интуиция «неоценима, если сознавать ее ограниченность». Я хотел учесть оба члена этой изящной формулировки.

Оглавление.
Предисловие редактора.
Предисловие к новому изданию.
Глава 1. Аффинные схемы.
§1.1. Уравнения и кольца.
§1.2. Геометрический язык: точки.
§1.3. Геометрический язык (продолжение).Функции на спектрах и топология Зарисского.
§1.4. Основные свойства топологии Зарисского.
§1.5. Аффинные схемы.
§1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов.
§1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение.
§1.8. Теорема Гильберта о нулях.
§1.9. Отступление: дзета-функция.
§1.10. Расслоенное произведение.
§1.11. Отступление: аффинные групповые схемы.
§1.12. Векторные расслоения и проективные модули.
§1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения.
§1.14. Дифференциалы.
§1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри.
§1.16. Добавление. Язык категорий.
Глава 2. Пучки, схемы и проективные пространства.
§2.1. Общие сведения о пучках.
§2.2. Структурный пучок на Spec A: случай кольца без делителей нуля
§2.3. Структурный пучок на Spec A: общий случай.
§2.4. Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность.
§2.5. Морфизмы схем.
§2.6. Проективные спектры.
§2.7. Алгебраические инварианты градуированных колец. Многочлен Гильберта.
§2.8. Характеристические функции и теорема Безу.
§2.9. Предпучки и пучки модулей: обзор.
§2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными схемами.
§2.11. Обратимые пучки и группа Пикара.
§2.12. Когомологии Чеха.
§2.13. Когомологии проективного пространства.
§2.14. Теорема Серра.
§2.15. Пучки на Proj R и градуированные модули.
§2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта.
§2.17. Группа Гротендика: первые сведения.
§2.18. Резольвенты и гладкость.
Глава 3. K-функтор в алгебраической геометрии (из записок второй части курса).
От редакции.
§3.1. Группы Гротендика K. (X) и K. (X).
§3.2. Группа K(X) и циклы.
§3.3. Самопересечение и внешние степени.
§3.4. Проективизированные расслоения.
§3.5. Вычисление кольца K(P(E)) и принцип расщепления.
§3.6. Вычисление кольца K(P(E)) (окончание).
§3.7. K(−) как ковариантный функтор.
§3.12. Структура моноидальных преобразований.
§3.13. Поведение кольца K(X) при моноидальном преобразовании.
§3.14. Поведение кольца K(X) при моноидальном преобразовании (продолжение).
§3.15. Поведение кольца K(X) при моноидальном преобразовании (окончание).
Глава 4. Квантовые группы и некоммутативная геометрия.
§4.1. Квантовая группа GLq (2).
§4.2. Биалгебры и алгебры Хопфа.
§4.3. Квадратичные алгебры как квантовые линейные пространства.
§4.4. Пространства квантовых матриц I. Категорная точка зрения.
§4.5. Пространства квантовых матриц II. Координатный подход.
§4.6. Добавление потерянных соотношений.
§4.7. От полугрупп к группам.
§4.8. Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант.
§4.9. Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр.
§4.10. -алгебры Хопфа и компактные матричные псевдогруппы.
§4.11. Уравнения Янга—Бакстера.
§4.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера.
§4.13. Некоторые открытые проблемы.
Литература.
Литература, добавленная редактором.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Манин