Вычислительная математика, курс лекций, Поршнев С.В., 2004

Вычислительная математика, Курс лекций, Поршнев С.В., 2004.

   Книга представляет собой расширенный вариант лекций по курсу «Вычислительная математика», прочитанных автором в Нижнетагильском технологическом институте Уральского государственного технического университета для специальности «Информатика и вычислительная техника». Материал укладывается в перечень требований обязательного минимума содержания Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 654600 «Информатика и вычислительная техника» дисциплины «Вычислительная математика». Основная особенность курса — прикладная направленность. Для каждого описанного в книге вычислительного метода приведены его программные реализации, а также соответствующие функции математического пакета MATLAB. Выбранный подход позволяет сформировать понимание математического содержания конкретного метода (границы его применимости, погрешности метода и т. д.) и умение использовать современные программные средства.




Виды погрешностей.
Неустранимая погрешность состоит из двух частей:
погрешности, обусловленной неточностью задания числовых данных.
входящих в математическое описание задачи;
погрешности, являющейся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели).

Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой, хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.
Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей.

Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других более простых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной).

Содержание.
Лекция 1. Теория погрешностей.
1.1. Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация.
1.1.1. Виды погрешностей.
1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных.
1.3. Вычислительная погрешность.
1.4. Понятия о погрешности машинных вычислений.
Лекция 2. Решение уравнений с одной переменной.
2.1. Общие сведения и основные определения.
2.2. Отделение корней.
2.3. Метод половинного деления.
2.4. Метод простой итерации.
2.5. Преобразование уравнения к итерационному виду.
Лекция 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
3.1. Общие сведения и основные определения.
3.2. Метод Гаусса и его реализация в пакете MATLAB.
3.3. Вычисление определителей.
3.4. Решение систем линейных уравнений методом простой итерации.
3.5. Метод Зейделя.
3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета MATLAB.
Лекция 4. Методы решения систем нелинейных уравнений.
4.1. Векторная запись нелинейных систем. Метод простых итераций.
4.2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
4.3. Решение нелинейных систем методами спуска.
4.3.1. Метод Ньютона.
4.4. Решение систем нелинейных уравнений средствами пакета MATLAB.
Лекция 5. Интерполирование функций.
5.1. Постановка задачи.
5.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов.
5.3.1. Конечные разности.
5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона.
5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
5.4. Погрешность интерполяции.
5.5. Сплайн-интерполяция.
5.6. Решение задачи одномерной интерполяции средствами пакета MATLAB.
Лекция 6. Численное дифференцирование и интегрирование.
6.1. Численное дифференцирование функций, заданных аналитически.
6.2. Особенности задачи численного дифференцирования функций, заданных таблицей.
6.3. Интегрирование функций, заданных аналитически.
6.4. Погрешность численного интегрирования.
6.5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.
Лекция 7. Методы обработки экспериментальных данных.
7.1. Метод наименьших квадратов.
7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена.
7.3. Аппроксимация функцией произвольного вида.
Лекция 8. Преобразование Фурье.
8.1. Разложение периодических функций в ряд Фурье.
8.2. Эффект Гиббса.
8.3. Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности.
8.4. Быстрое преобразование Фурье.
Лекция 9. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
9.1. Общие сведения и определения.
9.2. Метод Пикара.
9.3. Метод Эйлера.
9.4. Метод Рунге-Кутта.
9.5. Средства пакета MATLAB для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Лекция 10. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
10.1. Общие сведения и классификация уравнений в частных производных.
10.2. Численные методы решения эллиптических уравнений.
10.3. Явные разностные схемы для уравнений параболического и эллиптического типов.
10.4. Неявная разностная схема для уравнения параболического типа.
10.5. Решение уравнений с частными производными методом Монте-Карло.
Лекция 11. Численные методы решения интегральных уравнений.
11.1. Общие сведения об интегральных уравнениях.
11.2. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Фредгольма.
11.3. Квадратурный метод решения интегральных уравнений Вольтерра.
Приложение 1. Основные приемы работы c пакетом matlab.
П1.1. Работа в командном окне.
П1.1.1. Вход в систему MATLAB.
П1.1.2. Интерактивный доступ к справочной информации и документации.
П1.1.2.1. Команда help.
П1.1.2.2. Команда lookfor.
П1.1.2.3. Меню Help.
П1.1.3. Редактирование и повторный вызов командной строки.
П1.1.4. Формат вывода.
П1.1.5. Копия протокола текущей сессии.
П1.2. Создание матриц.
П1.2.1. Явное задание матриц.
П1.2.2. Подматрицы и использование двоеточия.
П1.2.3. Функции построения матриц.
П1.3. Операции, выражения и переменные.
П1.3.1. Правила записи операторов.
П1.3.2. Матричные операции.
П1.3.3. Операции с массивами.
П1.3.4. Сохранение данных из рабочей области.
П1.4. Операторы for, while, if, case и операторы отношения.
П1.4.1. Цикл for.
П1.4.2. Цикл while.
П1.4.3. Условный оператор if.
П1.4.4. Оператор переключения case.
П1.4.5. Условия (операторы отношения).
П1.5. Функции MATLAB.
П1.5.1. Скалярные функции.
П1.5.2. Векторные функции.
П1.5.3. Матричные функции.
П1.6. M-файлы.
П1.6.1. Файлы-программы.
П1.6.2. Файлы-функции.
П1.6.3. Текстовые строки, сообщения об ошибках.
П.1.6.4. Работа с m-файлами.
П1.6.5. Список путей доступа.
П1.6.5.1. Работа со списком путей доступа.
П1.6.5.2. Текущий каталог.
П1.6.5.3. Средство просмотра и редактирования путей доступа Path Browser.
П1.6.5.4. Использование редактора/отладчика.
П.1.6.6. Отладка m-файлов.
Приложение 2. Точные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
П2.1. Метод разделения переменных.
П2.2. Метод интегральных преобразований.
П2.2.1. Общие сведения об интегральных преобразованиях.
П2.2.2. Решение краевой задачи УЧП с использованием синус-преобразования.
П2.2.2.3. Решение краевой задачи уравнения в частных производных с использованием преобразования Фурье.
П2.2.2.4. Решение краевой задачи УЧП методом преобразования Лапласа.
П2.3. Метод преобразования зависимых переменных.
П2.4. Метод преобразования координат.
П2.5. Метод разложения по собственным функциям.
П2.6. Метод функций Грина.
П2.7. Метод интегральных уравнений.
Приложение 3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
П3.1. Вариационный метод.
П3.2. Методы теории возмущений.
П3.2.1. Применение метода последовательных приближений к решению обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.
П3.2.1. Обычная формула теории возмущений для решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Приложение 4. Метод обратной задачи рассеивания.
Литература.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Поршнев