Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 66-е степени? Вопросы эти весьма серьёзны и встают перед каждым, кто начинает изучать математику. Из огромного разнообразия задач не все достойны пристального внимания. Задача о сумме квадратов — в высшей степени достойна. К сожалению для философа, это трудно объяснить, не рассказав её решение и не углубившись тем самым в детали.
«Детали» — это критерий того, какие натуральные числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел. В одном из доказательств этого критерия будут использованы не только «обычные» целые числа, но и числа комплексные — прекрасный пример применения абстрактной теории к конкретной арифметической задаче! Хотя эта статья содержит лишь малую часть теории делимости алгебраических чисел, надеемся, её очарование никого не оставит равнодушным.
Какие числа — суммы двух квадратов?
Теорема Ферма—Эйлера. Любое простое число p = 4n + 1, где n — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Эту теорему сформулировал Пьер Ферма (1601-1665), а доказал её (при помощи любимого Ферма метода бесконечного спуска) Леонард Эйлер (1707-1783). Перед
тем, как её доказывать, сформулируем критерий того, какие числа представимы в виде суммы двух квадратов.
Произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов — сумма двух квадратов; квадрат любого простого числа — тоже сумма двух квадратов (один из них равен 0). Теорема 1 и упражнение 11 приводят к следующему выводу: натуральное число представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложение на простые множители любой простой множитель, дающий остаток 3 при делении на 4, входит в чётной степени.
Этот критерий впервые был сформулирован голландцем Альбером Жираром (1595-1632) в следующем виде: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является или квадратом, или числом 2. или простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, или произведением нескольких вышеперечисленных чисел. Скорее всего, Жирар опирался лишь на изучение таблиц и не умел доказывать необходимость и достаточность своих условий.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Суммы квадратов - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги
Скачать - pdf - Яндекс.Диск.
Дата публикации:
Теги: учебник по математике :: математика
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
- Математический кружок, 8-9 классы, Первое полугодие, Асташов Е.А., Удимо Д.А., 2015
- Графы, Основные определения, Селезнева С.Н.
- Графы и алгоритмы, Структуры данных, Модели вычислений, Алексеев В.Е., Таланов В.А., 2012
- Живая математика, Перельман Я.И., 2017
Предыдущие статьи:
- Введение в систему математического образования, Лебедева С.В., 2013
- Основы теории принятия решений, Доросинский Л., 2014
- Элементы теории графов, Домнин Л.Н., 2007
- Элементы теории графов, Теория Графов, Lazarev А., 2010