Математический гербарий абитуриента, алгебра во всем ее блеске и многообразии, Пантаев М.Ю., 2017

Математический гербарий абитуриента, Алгебра во всем ее блеске и многообразии, Пантаев М.Ю., 2017.

В жизни каждою молодого человека неизбежно наступает день, когда ему приходится сдавать экзамен по математике. Можно ли помочь отроку пережить этот день, и нс просто пережить, а более-менее успешно перейти в следующий? То есть сдать экзамен. Существует ли рецепт успеха? По авторитетному мнению, экзамен — не что иное, как кодовый замок, и чтобы его открыть, нужно знать шифр. Но особенность данного замка в том, что шифров — много: не единственная последовательность решенных задач ведет к цели, а многие и многие и многие. Но... У всех таких последовательностей есть нечто общее. В настоящей книге показана в действии одна из подобных «последовательностей», которая, по мнению автора, вполне достаточна для успешной подготовки по алгебре в любой вуз. Пособие представляет собой сборник задач с немедленными решениями, предназначенный для повторения той части школьного курса алгебры, которая востребована на выпускных и вступительных экзаменах. Эта книга — путеводитель по задачам разной степени трудности: тут есть и абсолютно стандартные задачи «базового» уровня, и более сложные «профильного» уровня, и задачи «с изюминкой», которые должен знать каждый абитуриент, не желающий относиться к тому, чем занимается, формально-прагматически. Книга обращена прежде всего к таким ученикам старших классов, которые честно изучали математику в школе, но кое-какие подробности за давностью лет подзабыли. Каждый, кто готовится к экзаменам, верит, что существуют могущественные приемы, ищет сильные методы и принимает за таковые всё незнаемое прежде. Автор постарался не обмануть эти благородные ожидания, поделившись с читателями всеми тонкостями, которые узнал от своих учителей, коллег и учеников.




Поговорим о целых числах.
Начинать с чисел, наверное, естественно. Еще Сократ определял математику как науку о числах и фигурах. Алгебра начинается с чисел. И первый класс чисел — натуральные, которые даны нам свыше. А всё прочее люди создали сами. Но что они создали? Да ничего, кроме комбинации натуральных чисел. Разве десятичная дробь — это не набор всё тех же натуральных чисел? Пусть и взятых в бесконечном количестве? Натуральные числа появились в процессе счета, и, считая, мы видим, сколько раз одно число повторяется в другом: делится ли одно число на другое и каково частное.

Задачи на делимость учат математике. Поскольку ответом здесь всегда являются целые числа, его во многих случаях можно (хотя бы частично) угадать-подобрать перебором; и крайне важно доказать, что перебор окончен, что других вариантов нет. Доказательство — мозг математики — присутствует здесь в самом буквальном виде. Важно знать, что если два целых числа m и n связаны равенством m = nq + r, где 0 ≤ r < |n| (все числа целые), то это равенство выражает факт деления с остатком первого числа на второе. Соответственно числа q и r — это частное (или неполное частное) и остаток. Если остаток равен 0, то говорят, что число m делится на n (и иногда используют обозначение m:n). Если мы имеем в виду натуральные m и n, то можно писать просто 0 ≤ r < n (без модуля).

Некоторое число при делении на 2 дает остаток 1, а при делении на 3 - остаток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?
Рассмотрим три подхода к решению этой задачи. Ученики седьмых-восьмых классов обычно рассуждают так. Найдем наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи. 1, 2, 3, 4 отпадают, а 5 подходит. При делении на 6 это число дает остаток 5, поскольку 5 = 6 * 0 + 5 в свете данного выше определения. Значит, так оно и должно быть. На всякий случай посмотрим дальше. Снова: 6, 7, 8, 9, 10 отпадают, а 11 подходит; и остаток опять-таки 5; только теперь 11 =6*1 + 5.

Ученики девятых-десятых классов понимают, что всё это хорошо, но нужно настоящее доказательство. И они дополняют изложенные рассуждения. Пусть х — данное число; поскольку нас интересует остаток при делении на 6, запишем х в виде х = 6q + r, где q и r — целые числа, причем, во-первых, 1 ≤ r ≤ 5, а во-вторых, как следует из условия, r ≠ 2,3,4; иначе х делился бы на 2 или 3 без остатка. Значит, либо r = 1, либо r = 5. Если r = 1, то х — 6q+1 и это число при делении на 3 дает остаток 1. Если же r = 5, то х = 6q + 5, и все условия задачи выполнены. Итак, остаток равен 5.

Содержание
Предисловие
Глава 1. Воспоминания детства, или Числа и алгебраические преобразования
§ 1. Поговорим о целых числах
§ 2. Преобразования алгебраических выражений
§ 3. Числа рациональные и иррациональные. Действия с иррациональностями
Глава 2. Алгебра во всем ее блеске и великолепии
§ 4. Алгебраические уравнения
§ 5. Иррациональные уравнения
§ 6. Системы уравнений
§ 7. Неравенства
§ 8. Уравнения, неравенства и системы с модулем
Глава 3. Тригонометрия, или Неравный брак
§ 9. Проверь себя, или 60 разминочных вопросов
§ 10. Тригонометрические преобразования
§ 11. Обратные тригонометрические функции
§ 12. Тригонометрические уравнения
§ 13. Две дюжины уравнений с обратными тригонометрическими функциями
§ 14. Тригонометрические неравенства
§ 15. Системы тригонометрических уравнений
Глава 4. Логарифмы и несть им конца
§ 16. Преобразования и вычисления
§ 17. Уравнения и их системы
§ 18. Неравенства
Глава 5. Тематическая смесь, или Ресторан господина Септима
§ 19. Только параметры, или Привет от Тристрама Шенди
§ 20. Хитрые задачи, или Голь на выдумки быстра
§ 21. Трудные задачи, или Без паники, майор Кардош!
§ 22. Наш Декамерон, или Десять дней на повторение
§ 23. Appendix, или 33 задачи без изюминки
§ 24. Теоремы, или Долги наши
Приложение 1. Поступальник для абитуриентов (по Д. Самойлову и не только)
Приложение 2. Слово о человеке
Послесловие
Список использованной литературы.

Купить .

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Пантаев