Курс высшей математики, том 3, Смирнов В.И., 1974

Курс высшей математики, Том 3, Смирнов В.И., 1974.
 
   В настоящее издание внесены следующие добавления и изменения: в главе I указаны результаты, касающиеся формулы Коши и интегралов типа Коши с использованием интегралов Лебега; в главе III изменено изложение приближенного вычисления интегралов по методу скорейшего спуска и добавлено изложение метода стационарной фазы; в главе IV расширено изложение теории аналитических функций одной матрицы. Наибольшие изменения внесены в главу V. В частности, добавлена краткая теория функций Эйри, рассмотрена асимптотика решения одного линейного уравнения второго порядка, содержащего большой параметр, и расширено изложение теории одного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом. В главе VI изменено изложение асимптотик функций Ханкеля и Бесселя при большом значке и аргументе.




Особые точки аналитических функций и римановы поверхности.
В предыдущем пункте мы разобрали ряд примеров многозначных функций и построили соответствующие им римановы поверхности, на которых они однозначны. Рассмотрим соответствующие вопросы в общем случае. Мы не будем при этом за недостатком места входить в детали и ограничимся общими указаниями. Предварительно1 выясним понятие об изолированной особой точке при аналитическом продолжении.

Пусть в точке z = а задан начальный элемент аналитической функции f(z) который мы затем продолжаем вдоль линии l. Положим, что аналитическое продолжение возможно до точки z = b исключительно, но не дальше, так что точка z = b является особой точкой при аналитическом продолжении вдоль l [18]. Пусть существует круг К с центром z = b такой, что элементы функции /(г), соответствующие точкам участка cb линии l (рис. 18), лежащего внутри К, можно аналитически продолжать вдоль любой линии, лежащей внутри К и не проходящей через точку z = b. В этом случае точка z = b называется изолированной особой точкой f(z) (соответствующей пути l). Упомянутое аналитическое продолжение по всевозможным линиям внутри К может привести к однозначной или многозначной функции внутри К. В первом случае полученная однозначная внутри К функция будет регулярной везде внутри К, кроме z = b, будет разлагаться в ряд Лорана по целым степеням (z — b) и точка z = b будет или полюсом или существенно особой точкой нашей аналитической функции f(z) (при аналитическом продолжении вдоль l). Во втором случае, при многозначности получаемой внутри К функции, точка z =  b называется точкой разветвления.

Купить .





Теги: учебник по высшей математике :: высшая математика :: Смирнов