Введение в вычислительную математику, Рябенький В.С., 2000

Введение в вычислительную математику, Рябенький В.С., 2000.

  Изложены основные понятия и идеи, используемые для преобразования математических моделей к виду, удобному для изучения с помощью ЭВМ. Изложение ведется на материале вычислительных задач математического анализа, алгебры и дифференциальных уравнений. Впервые в учебной литературе отражен метод разностных потенциалов для численного решения краевых задач математической физики.
Для студентов механико-математических и физических факультетов университетов, МФТИ, МИФИ, политехнических и других вузов.




Многосеточный метод Федоренко.
В работе Р.П. Федоренко (см.: ЖВМ и МФ.—1961.—Т. I, № 5) предложен метод итерационного решения разностных эллиптических задач, названный релаксационным. Для уменьшения нормы первоначальной погрешности вдвое этот метод требует всего CN арифметических действий, где С = const, а N — число точек в области. Очевидно, что по порядку числа арифметических действий этот метод неулучшаем, так как число расчетных точек также O(N).

Границы применимости метода Федоренко почти такие же, как у метода простых итераций. Регулярность сетки не предполагается. Дополнительным ограничением является требование “плавности”, “гладкости” первых собственных функций оператора задачи, которое для эллиптических задач обычно выполнено.

Цитированная работа Федоренко была развита в ряде последующих работ многих авторов.
Обоснования многосеточного метода Федоренко довольно громоздки, поэтому мы ограничимся качественным описанием идеи метода и самого алгоритма Федоренко в простом случае, отсылая за доказательствами и общими конструкциями к оригинальным работам и [24].

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие  
Введение  
§1. Дискретизация  
§2. Обусловленность
§3. Погрешность
§4. О методах вычисления  
ЧАСТЬ I ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ. КВАДРАТУРЫ
ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ  
§1. Существование и единственность интерполяционного многочлена  
§2. Классическая кусочно многочленная интерполяция
§3. Кусочно многочленная гладкая интерполяция (сплайны)
§4. Интерполяция функций двух переменных  
ГЛАВА 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
§1. Интерполяция периодических функций
§2. Интерполяция функций на отрезке. Связь между алгебраической и тригонометрической интерполяциями
ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. КВАДРАТУРЫ  
§1. Квадратурные формулы трапеций и Симпсона
§2. Сочетание численных и аналитических методов при вычислении интегралов с особенностями
§3. Кратные интегралы  
ЧАСТЬ II СИСТЕМЫ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ
§1. Формы записи совместных СЛАУ
§2. Нормы  
§3. Обусловленность СЛАУ
§4. Методы исключения Гаусса
§5. Связь между задачей на минимум квадратичной функции и СЛАУ
§6. Метод сопряженных градиентов как метод точного решения СЛАУ
§7. Конечные ряды Фурье и запись точного решения разностного аналога задачи Дирихле для уравнения Пуассона
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ (ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ) РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  
§1. Методы простых итераций
§2. Метод Чебышева и метод сопряженных градиентов
ГЛАВА 6. ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛАУ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ  
§1. Примеры задач, приводящих к переопределенным СЛАУ
§2. Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения в общем случае  
ГЛАВА 7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
§1. Метод простых итераций
§2. Метод линеаризации Ньютона  
ЧАСТЬ III МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА 8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  
§1. Примеры разностных схем. Сходимость
§2. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой  
§3. Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости
§4. Схемы Рунге-Кутта
§5. Методы решения краевых задач
ГЛАВА 9. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§1. Основные определения и их иллюстрация
§2. Некоторые приемы построения аппроксимирующих разностных схем
§3. Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши  
§4. Принцип замороженных коэффициентов
§5. Явные и неявные разностные схемы для уравнения теплопроводности  
ГЛАВА 10. ПОНЯТИЕ О РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЯХ И СПОСОБАХ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ  
§1. Дифференциальная формулировка интегрального закона сохранения  
§2. Построение разностных схем
ГЛАВА 11. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
§1. Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы
§2. Понятие о методе конечных элементов
§3. Вычисление решений сеточных аналогов краевых задач
§4. Многосеточный метод Федоренко
ЧАСТЬ IV МЕТОДЫ ГРАНИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ГЛАВА 12. ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
§1. Способы редукции краевых задач к ГИУ
§2. Граничные элементы и дискретизация ГИУ
§3. Область применимости ГИУ для численного решения краевых задач  
ГЛАВА 13. ГРАНИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОЕКТОРАМИ И МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ  
§1. Пример ГУРП для эллиптического уравнения второго порядка
§2. Устойчивость ГУРП и проблема их дискретизации
§3. Определение и вычисление разностных потенциалов
§4. Использование разностных потенциалов для приложений
Список литературы.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Введение в вычислительную математику, Рябенький В.С., 2000 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Рябенький