Многоугольники на решетках, Вавилов В.В., Устинов А.В., 2006

Многоугольники на решетках, Вавилов В.В., Устинов А.В., 2006.

  Решетки на плоскости являются тем замечательным мостом (с достаточно интенсивным двусторонним движением), который позволяет задачи алгебры, анализа, теории чисел переводить на геометрический язык и наоборот — задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму. Основу книги составляют вопросы, связанные с возможностью расположения на решетках правильных или «полуправильных» многоугольников (только с равными сторонами или только с равными углами), формулой Пика для площади многоугольника на решетке и ее тесной связью с комбинаторной формулой Эйлера.
Книга написана на основе лекций, которые один из авторов читал в школе им. А.Н. Колмогорова при МГУ, на Малом мехмате МГУ, а также для студентов, аспирантов и преподавателей вузов как у нас в стране, так и за рубежом.




Области Дирихле.
Для каждого узла плоской решетки найдем множество всех точек на плоскости, расстояние от которых до этого узла не больше, чем расстояние до всех других узлов. Такие области называются областями Дирихле (известный немецкий математик П. Г. Л. Дирихле с большим успехом использовал их в своих работах по теории чисел; в пространстве такие области рассматривал русский математик Г. Ф. Вороной).

В качестве примера рассмотрим решетку, фундаментальным параллелограммом которой является ромб с углом 60°. Для того чтобы найти области Дирихле, проделаем следующее построение. Во всех фундаментальных параллелограммах данной решетки проведем меньшие диагонали; в результате мы получим разбиение плоскости на равные правильные треугольники (рис. 1.12). Внутри каждого треугольника отметим центр его описанной окружности. Затем соединим отрезками эти центры для треугольников, имеющих общую сторону (рис. 1.13).

В итоге получилось разбиение плоскости на равные шестиугольники. Внутри каждого из них лежит ровно один узел решетки, который является его центром симметрии и центром его описанной окружности. Полученные шестиугольники и являются областями Дирихле. В самом деле, рассмотрим какой-либо шестиугольник с центром в узле О (рис. 1.14). Каждая его сторона является перпендикуляром к отрезку, соединяющему узел с одним из соседних к нему узлов. Причем этот перпендикуляр проходит через середину соответствующего отрезка (рис. 1.14).

Оглавление
Предисловие
Глава 1. Решетки на плоскости и в пространстве
§1.1. Основные свойства решеток
§1.2. Фундаментальный параллелограмм
§1.3. Кристаллографическое неравенство
§1.4. Области Дирихле
Упражнения и задачи
Глава 2. Правильные многоугольники на решетках
§2.1. Треугольник и квадрат
§2.2. Правильные многоугольники
§2.3. Полуправильные многоугольники
§2.4. Правильные многогранники
Упражнения и задачи
Глава 3. Две знаменитые формулы
§3.1. Формула Пика
§3.2. Формула Эйлера
§3.3. Обобщения формулы Пика
§3.4. Приложения формулы Пика
Упражнения и задачи
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Многоугольники на решетках, Вавилов В.В., Устинов А.В., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Вавилов :: Устинов