Задача 6. В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: «Он — хоббит». Сосед сказал: «Мой правый сосед солгал». В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили «Мой правый сосед солгал» много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят. Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело а) девять [4 балла]; б) десять [4 балла] жителей Пустоземья. Объясните своё решение. (А. Заславский, А. Хачатурян.)
Ответ, а) Все были хоббитами; б) пять гоблинов и пять эльфов.
Решение. Рассмотрим того, про кого сказали, что он — хоббит, и для удобства назовём его Боб. Боб не согласился с тем, что он хоббит, следующий не согласился с ним, а значит, подтвердил, что Боб хоббит, и так далее — все говорящие через раз подтверждали или отрицали, что Боб хоббит. Если пирующих было 9 (нечётное число), то на следующем круге каждый говорил противоположное к тому, что сказал на предыдущем, так что все они хоббиты, а первый хоббит про Боба сказал сначала правду, что вполне возможно. Мы решили пункт а) задачи. Для решения пункта б) заметим, что, поскольку 10 — чётное число, то говорящие на каждом круге говорят одно и то же, поэтому хоббитов среди них нет. Тогда и Боб — не хоббит, а сказавший так про него его правый сосед солгал, то есть он гоблин. Сам же Боб уличил, гоблина во лжи, так что он эльф. Его сосед слева снова гоблин, и так далее — за столом сидят, чередуясь, пять гоблинов и пять эльфов.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу LXVIII Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2005 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги
Скачать - djvu - Яндекс.Диск.
Дата публикации:
Теги: Арнольд :: олимпиада по математике :: 2005 :: математика
Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:
Следующие учебники и книги:
- 250 задач по элементарной теории чисел, Серпинский В., 1968
- 1001 задача для умственного счета, Рачинский С.А.
- LXXI Московская математическая олимпиада, математический праздник, Арнольд В.Д., 2008
- LXX Московская математическая олимпиада, Московская региональная олимпиада школьников, задачи и решения, Алексеев В.Б., 2007
Предыдущие статьи:
- LXVII МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ, Акопян И.В., 2004
- LXVI МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА, 2003
- LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002
- LXV Московская математическая олимпиада, 2002