LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002

LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002.

Задача №5. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алеше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались. [6 баллов] (А. Чеботарёв)
Решение. Вот пример такого вопроса: «Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алёши Поповича?»
Если у Ильи Муромца две золотые монеты, он скажет «да», поскольку у Алёши Поповича не может быть больше одной золотой монеты.
Если обе монеты Ильи серебряные, то у Алёши хотя бы одна золотая, и Илья Муромец ответит «нет».
Ну а если ему достались разные монеты, то он ответит «не знаю», так как у Алёши может оказаться как две золотые, так и две серебряные монеты.
Конечно, можно было задать и другие вопросы, например:
— Правда ли, что одному из двух других богатырей достались две серебряные монеты?
—  Верно ли, что два других богатыря получили хотя бы по одной золотой монете каждый?
— Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо нее золотую, станет ли у тебя больше золотых?
(Заметьте, что в последнем вопросе не упоминаются монеты двух других богатырей, а только монеты, доставшиеся Илье Муромцу!)



Задача №6. В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера спорта а) 7 участников [4 балла]; б) 8 участников [6 баллов]? (Е. Иванова)
Решение. Докажем от противного, что получить звание мастера могли не более 7 участников турнира. Пусть их было 8. Тогда каждый набрал не менее 0,7-11 = 7,7 очка, то есть не менее 8 очков. Таким образом, все они в сумме набрали не менее 8 * 8 = 64 очков. При этом в партиях с участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4 очков (даже если выиграл все партии). Это даёт не более 4 • 8 = 32 очков.
Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях между собой не менее 32 очков.
Подсчитаем, сколько партий сыграли между собой эти 8 мастеров. Если мы будем результаты партии записывать в таблицу 8x8, то у нас останется свободной диагональ (так как партий с самим собой не играется) и на каждую партию будет выделено по две клетки: в строке одного из игроков и в строке другого. Таким образом, партий будет  28. В каждой партии разыгрывается одно очко, поэтому в этих партиях мастера в сумме наберут ровно 28 очков, что меньше 32. Противоречие.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу LXV Московская математическая олимпиада, Математический праздник, Арнольд В.Д., 2002 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: олимпиада по математике :: 2002 :: математика