LXXI Московская математическая олимпиада, математический праздник, Арнольд В.Д., 2008

LXXI Московская математическая олимпиада, математический праздник, Арнольд В.Д., 2008.


Примеры задач.
6 класс
Задача 1. Сегодня 17.02.2008. Наташа заметила, что в записи этой даты сумма первых четырёх цифр равна сумме последних четырёх. Когда в этом году такое совпадение случится в последний раз?
[3 балла] (Н. М. Нетрусова)
Ответ. 25 декабря 2008 года.
Решение. Нетрудно проверить, что в оставшиеся дни до конца года такого совпадения больше не будет.
Задача 2. Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить? [3 балла] (Д.В.Баранов)
Ответ. 6 зайчат.



Решение. Все зайчата барабанить не могут, так как заведомо не будет барабанить зайчонок, которому достанется самый маленький барабан. С другой стороны, если дать этому же зайчонку и самые короткие палочки, то все остальные зайчата будут барабанить.
Задача 3. На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные 7 крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально? [5 баллов] (А. Д. Блинков, И. В. Раскина)
Ответ. 11 головок сыра.
Решение. Пусть всего было k крыс (k > 7), тогда каждая съела в первую ночь по 10/r головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть 5/r головок. Все 7 крыс съели тем самым 35/r головок. Это целое число. Единственный делитель числа 35, превышающий 7, —само число 35. Поэтому 35/r = 1, и всего на складе до нашествия крыс было 10+1 = 11 головок сыра.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу LXXI Московская математическая олимпиада, математический праздник, Арнольд В.Д., 2008 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: Арнольд :: олимпиада по математике :: 2008 :: математика