Курс математического анализа, Часть 1, Бермант А.Ф., 1959

Курс математического анализа, Часть 1, Бермант А.Ф., 1959.
        
   Эта книга — учебник по математике, а не справочник или сборник рецептов — как «шагать», производя различные операции анализа. Она предназначена и для того, чтобы развить у читателя математическое мышление и требовательность, расширить математический кругозор. Поэтому все положения высказываются с точным перечислением условий, при которых они справедливы, доказательства даются полные, но, разумеется, «с точностью до теории действительных чисел», не развиваемой в этой книге. Исключения составляют некоторые «теоремы существования»; признавая важными и полезными содержание и мотивировку этих теорем, я не нахожу необходимым излагать, при крайней ограниченности учебного времени, сами формальные доказательства. В случае, если доказательства не приводятся, это оговаривается, и читатель отсылается к более полным руководствам.




Математический анализ и действительность. 
С помощью математики изучаются состояния и процессы, встречающиеся не только в различных науках о природе, но и в различных науках об обществе, везде, где есть необходимость рассматривать эти состояния и процессы с количественной стороны. (Математика занимается и вопросами не обязательно количественного характера, но относящимися к пространственным формам и отношениям; такие вопросы в этой книге почти не затрагиваются.) Что же касается естествознания и техники, то математика является для них чрезвычайно ценным методом теоретического исследования и практическим орудием. Без тех средств, которые даёт элементарная, а затем и высшая математика, невозможен никакой технический расчёт, а значит, невозможна без математики и никакая серьёзная инженерная и научно-техническая работа. Это является следствием того, что технические науки опираются на физику, механику, химию и т. д., количественные закономерности которых выражаются с помощью понятия функции и других понятий математического анализа. Ещё Галилей говорил, что «законы природы записаны на языке математики», а Ф. Энгельс замечает, что «... для диалектического и вместе с тем материалистического понимания природы необходимо знакомство с математикой и естествознанием»).

Именно благодаря тому, что основные законы физики, механики и т. д. выражены на математическом языке, получается возможность с помощью вычислений и логических рассуждений теоретически находить следствия из известных закономерностей, решать новые задачи, которые ставят природа и человеческая практика.

ОГЛАВЛЕНИЕ. 
Предисловие к седьмому изданию.
ВВЕДЕНИЕ.
§1. Математический анализ и его значение.
1. «Элементарная» и «высшая» математика.
2. Понятие величины. Переменная величина и функциональная зависимость.
3. Математический анализ и действительность.
§2. Некоторые исторические замечания.
4. Великие отечественные математики: Л. П. Эйлер, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев.
5. Крупнейшие отечественные инженеры-математики: Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. Н. Крылов.
§3. Действительные числа.
6. Действительные числа. Числовая ось.
7. Интервал. Абсолютная величина.
8. О приближённых вычислениях.
ГЛАВА I ФУНКЦИЯ.
§1. Функции и способы их задания.
9. Понятие функции.
10. Способы задания функции.
§2. Символика и классификация функций.
11. Символика.
12. Понятие сложной функции. Элементарные функции.
13. Классификация функций.
§3. Простейшее изучение функций.
14. Область определения функции. Область определённости аналитического выражения.
15. Элементы поведения функции.
16. Графическое изучение функции. Линейная комбинация функций.
§4. Простейшие функции.
17. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция. Понятие приращения.
18. Квадратичная функция.
19. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция.
§5. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая функции.
20. Понятие обратной функции.
21. Степенная функция. 
22. Показательная и гиперболические функции.
23. Логарифмическая функция.
§6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
24. Тригонометрические функции.
25. Простые и сложные гармонические колебания.
26. Обратные тригонометрические функции.
ГЛАВА II ПРЕДЕЛ.
§1. Основные определения.
27. Предел функции целочисленного аргумента.
28. Примеры.
29. Предел функции непрерывного аргумента.
§2. Бесконечные величины. Правила предельного перехода. 
30. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции. 
31. Бесконечно малые величины.
32. Правила предельного перехода.
33. Примеры.
34. Признаки существования предела.
§3. Непрерывные функции.
35. Непрерывность функции.
36. Точки разрыва функции.
37. Общие свойства непрерывных функций.
38. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций. 
§4. Сравнение бесконечно малых. Некоторые замечательные пределы. 
39. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
40. Примеры отношений бесконечно малых. 
41. Число е. Натуральные логарифмы.
ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
§1. Понятие производной. Скорость изменения функции.
42. Некоторые понятия физики.
43. Производная функция.
44. Геометрическая интерпретация производной.
45. Некоторые свойства параболы. 
§2. Дифференцирование функций.
46. Дифференцирование результатов арифметических действий.
47. Дифференцирование сложной функции.
48. Производные-основных элементарных функций.
49. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование обратных и неявных функций.
50. Графическое дифференцирование.
§3. Понятие дифференциала. Дифференцируемость функции.
51. Дифференциал и его геометрическая интерпретация.
52. Свойства дифференциала.
53. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.
54. Дифференцируемость функции. Гладкость линии.
§4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры).
55. Скорость изменения функции относительно функции. Параметрическое задание функций и линий.
56. Скорость изменения полярного радиуса.
57. Скорость изменения длины линии.
58. Процессы органического роста.
§5. Повторное дифференцирование.
59. Производные высших порядков.
60. Формула Лейбница.
61. Дифференциалы высших порядков.
ГЛАВА IV ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ.
§1. Поведение функции «в точке».
62. Построение графика по «элементам».
63. Поведение функции «в точке». Экстремумы.
64. Признаки поведения функции «в точке».
§2. Применение первой производной.
65. Теоремы Ролля и Лагранжа.
66. Применения формулы Лагранжа к приближённым вычислениям.
67. Поведение функции в интервале.
68. Примеры.
69. Одно свойство первообразной функции.
§3. Применение второй производной.
70. Второй достаточный признак экстремума.
71. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба.
72. Примеры.
§4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений.
73. Теорема Коши и правило Лопиталя.
74. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий.
75. Общая схема исследования функций. Примеры.
76. Решение уравнений. Понятие кратного корня.
§5. Формула Тейлора и её применения.
77. Формула Тейлора для многочленов.
78. Формула Тейлора.
79. Некоторые применения формулы Тейлора. Примеры.
§6. Кривизна.
80. Понятие кривизны.
81. Радиус, центр и круг кривизны.
82. Эволюта и эвольвента.
83. Примеры. 
ГЛАВА V ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
§1. Понятие определённого интеграла.
84. Площадь криволинейной трапеции.
85. Примеры из физики.
86. Определённый интеграл. Теорема существования.
87. Вычисление определённого интеграла.
§2. Основные свойства определённого интеграла.
88. Простейшие свойства определённого интеграла.
89. Изменение направления и разбиение интервала интегрирования. Геометрическая интерпретация интеграла.
90. Оценка определённого интеграла.
§3. Основные свойства определённого интеграла (продолжение).
Формула Ньютона-Лейбница.
91. Теорема о среднем. Среднее значение функции. 
92. Производная от интеграла по верхнему пределу.
93. Формула Ньютона-Лейбница.
ГЛАВА VI НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
§1. Понятие неопределённого интеграла и неопределённое интегрирование.
94. Неопределённый интеграл. Основная таблица интегралов.
95. Простейшие правила интегрирования.
96. Примеры.
§2. Основные методы интегрирования.
97. Интегрирование по частям.
98. Замена переменной.
§3. Основные классы интегрируемых функций.
99. Дробно-рациональные функции.
100. Примеры.
101. Метод Остроградского.
102. Некоторые иррациональные функции.
103. Тригонометрические функции. 
104. Рациональные функции от х и √aх2+bx+с.
105. Общие замечания.
ГЛАВА VII СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Способы вычисления интегралов.
106. Определённое интегрирование по частям.
107. Замена переменной в определённом интеграле.
§2. Приближённые методы.
108. Численное интегрирование.
109. Графическое интегрирование.
§3. Несобственные интегралы.
110. Интеграл с бесконечными пределами.
111. Признаки сходимости и расходимости интеграла с бесконечными пределами. 
112. Интеграл от функции с бесконечными разрывами.
113. Признаки сходимости и расходимости интеграла от разрывной функции.
ГЛАВА VIII ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА.
§1. Простейшие задачи и методы их решения.
114. Метод «суммирования элементов».
115. Метод «дифференциального уравнения». Схема решения задач.
116. Примеры.
§2. Некоторые задачи геометрии и статики. Процессы органического роста.
117. Площадь фигуры.
118. Длина линии.
119. Объём тела.
120. Площадь поверхности вращения.
121. Центр тяжести и теоремы Гюльдена.
122. Процессы органического роста.
ГЛАВА IX РЯДЫ.
§1. Числовые ряды.
123. Понятие ряда. Сходимость.
124. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.
125. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость.
126. Действия над рядами.
§2. Функциональные ряды.
127. Определения. Равномерная сходимость.
128. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
§3. Степенные ряды.
129. Ряды Тейлора.
130. Примеры.
131. Интервал и радиус сходимости.
132. Общие свойства степенных рядов.
§4. Степенные ряды (продолжение).
133. Другой метод разложения функций в ряд Тейлора.
134. Некоторые применения рядов Тейлора.
135. Функции комплексной переменной. Формулы Эйлера.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс математического анализа, Часть 1, Бермант А.Ф., 1959 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу, если она есть в продаже, и похожие книги по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить книги


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Бермант :: ряд Тейлора :: интеграл