Векторный и тензорный анализ, Кумпяк Д.Е., 2007

Векторный и тензорный анализ, Кумпяк Д.Е., 2007.
 
    Учебное пособие содержит сведения о тензорах и операциях тензорной алгебры, криволинейных координатах, внешнем дифференцировании и интегрировании дифференциальных форм, векторном анализе. Операторы векторного анализа определяются с помощью внешнего дифференцирования, что позволяет легко вывести их свойства из свойств внешнего дифференциала.
Основную концепцию пособия можно кратко сформулировать так: векторный анализ с точки зрения исчисления дифференциальных (форм. Характерный стиль изложения — бескоординатный.
Пособие содержит материал, посвящённый приложениям излагаемого аппарата к физике: тензор инерции абсолютно твёрдого тела, уравнения динамики точки в криволинейных координатах (уравнения Лагранжа), уравнения электродинамики на языке дифференциальных форм, интенсивность источников и завихренность векторного ноля, теорема о скорости изменения фазового объёма.
Пособие предназначено для студентов физических специальностей университетов, но может быть полезно и студентам-математикам.




Физическая интерпретация div.
Рассмотрим поток векторного поля v через замкнутую поверхность S. Если интерпретировать v как поле скоростей жидкости, то знак потока v через S приобретает следующую трактовку.

Если интеграл (4.39) положителен, то из области U, ограниченной поверхностью S, вытекает жидкости больше, чем в неё втекает. Это говорит о наличии в области U точек, в которых жидкость образуется (например, тает лёд). Такие точки называются источниками.

Наоборот, если интеграл (4.39) отрицателен, то в область U жидкости втекает больше, чем из неё вытекает. Это говорит о наличии в области U точек, в которых жидкость исчезает (например, замерзает). Такие точки называются стоками.

Источники и стоки для удобства называют одним термином — источники, считая интенсивность источника положительной, а интенсивность стока — отрицательной.

СОДЕРЖАНИЕ.
Постоянно используемые обозначения.
1. Элементы тензорной алгебры.
1.1. Сопряжённое пространство.
1.1.1. Определения.
1.1.2. Канонический изоморфизм конечномерного векторного пространства и его второго сопряжённого.
1.1.3. Трансформационные свойства векторов и ковекторов.
1.2. Тензоры на линейном пространстве. Операции над тензорами.
1.2.1. Определение тензора.
1.2.2. Операция тензорного произведения.
1.2.3. Компоненты тензора в базисе.
1.2.4. Трансформационные свойства тензоров.
1.2.5. Операция свёртки.
1.2.6. Свёртка тензора по мультииндексам.
1.2.7. Операции тензорной алгебры в координатах.
1.3. Тензоры на линейном пространстве со скалярным произведением.
1.3.1. Отождествление векторов и ковекторов в (псевдо)-евклидовом пространстве.
1.3.2. Контравариантный метрический тензор.
1.3.3. Подъём и спуск индексов.
1.4. Внешние формы. Внешнее умножение.
1.4.1. Действие группы перестановок на пространстве k-линейных форм.
1.4.2. Внешние формы и оператор альтернирования.
1.1.3 Операция внешнего произведения.
1.4.4 Базис линейного пространства внешних k-форм.
1.5. Ориентация. Форма объёма. Оператор Ходжа.
1.5.1. Ориентация линейного пространства. Форма объёма.
1.5.2. Метрическая форма объёма.
1.5.3. Дуальная форма объема.
1.5.4. Оператор Ходжа.
1.5.5. Векторное произведение.
1.6. Приложение 1. Тензор инерции.
1.6.1. Тензор инерции абсолютно твёрдого тела.
1.6.2. Вычисление тензора инерции в координатах.
2 Векторные и тензорные поля в аффинном пространстве.
2.1. Экскурс в анализ.
2.1.1. Дифференцируемость, дифференциал.
2.1.2. Геометрический смысл дифференциала. Производная по направлению.
2.2. Регулярные системы координат.
2.2.1. Аффинные (прямолинейные) координаты.
2.2.2. Регулярные системы координат.
2.2.3. Криволинейные координаты. Координатные линии. Локальный базис.
2.2.4. Матрица Якоби как матрица дифференциала.
2.2.5. Ориентация регулярной системы координат.
2.3. Векторные и тензорные ноля.
2.3.1. Векторные поля.
2.3.2. Тензорные поля произвольной структуры.
2.3.3. Дифференциальные формы.
2.3.4. Метрический тензор и форма объёма в криволинейных координатах.
2.3.5. Градиент гладкой функции.
2.4. Приложение 2. Уравнение динамики точки в криволинейных координатах.
2.4.2 Уравнение Ньютона в криволинейных координатах (уравнения Лагранжа).
3. Внешнее дифференцирование.
3.1. Определение и свойства внешнего дифференциала.
3.1.1. Пример: условия Коши-Римана на языке внешнего дифференцирования.
3.2. Операторы векторного анализа на языке внешнего дифференцирования.
3.2.1. Дивергенция векторного поля.
3.2.2. Оператор Лапласа.
3.2.3. Ротор векторного поля.
3.2.4. Некоторые тождества векторного анализа как следствия свойств внешней производной.
3.3. Лемма Пуанкаре и её приложения к векторному анализу.
3.3.1. Замкнутые и точные дифференциальные формы. Лемма Пуанкаре.
3.3.2. Некоторые приложения леммы Пуанкаре: скалярный и векторный потенциал.
3.4. Антиувлечение дифференциальных форм гладким отображением.
3.5. Приложение 3. Уравнения электродинамики на языке дифференциальных форм.
3.5.1. Классическая форма уравнений электромагнитного поля.
3.5.2. Пространство Минковского и тензор электромагнитного поля.
3.5.3. Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм.
4. Интегрирование дифференциальных форм.
4.1. Интеграл от дифференциальной формы.
4.1.1. Экскурс в анализ: замена переменных в кратном интеграле.
4.1.2. Интегрирование дифференциальных форм в ориентированном аффинном пространстве.
4.1.3. Интегрирование дифференциальных форм по цепям.
4.2. Общая интегральная формула Стокса.
4.3. Некоторые частные случаи общей формулы Стокса.
4.3.1. Теорема Гаусса о дивергенции.
4.3.2. Первая и вторая формулы Грина.
4.3.3. Формула Остроградского — Гаусса.
4.3.4. Классическая формула Стокса.
4.3.5. Формула Грина на плоскости.
4.3.6. Теорема. Коши о вычетах.
4.3.7. Формула Ньютона - Лейбница.
4.4. Приложение 4. Физическая интерпретация div и rot.
4.4.1. Физическая интерпретация поверхностного интеграла II рода.
4.4.2. Физическая интерпретация div.
4.4.3. Теорема о скорости изменения фазового объёма.
4.4.4. Физическая интерпретация rot.
Список литературы.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Векторный и тензорный анализ, Кумпяк Д.Е., 2007 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по физике :: физика :: Кумпяк