Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, Скопенков А.Б., 2009

Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, Скопенков А.Б., 2009.

   Настоящая брошюра возникла на основе курса лекций, прочитанных автором на летней математической школе «Современная математика» в Дубне в 2007 г. В ней показано, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от «обычной». Приведены прямые элементарные определения этих понятий.
Брошюра предназначена студентам, аспирантам, работникам науки и образования, изучающим и применяющим дифференциальную геометрию. Для ее изучения достаточно владения основами анализа функций нескольких переменных (а во многих местах не нужно даже этого). Материал преподнесен в виде циклов задач.




Параллельный перенос.
Все знают, что такое параллельный перенос на плоскости. Можно определить параллельный перенос и на искривленной поверхности. Более того, это определение необходимо для решения интересных задач из географии и физики.

Начнем с поверхности многогранника. (Заметим, что она не является поверхностью в смысле определения, принятого в данной книге.) Рассмотрим две соседние грани данного многогранника. Если повернуть плоскость одной из них вокруг их общего ребра, то она совместится с плоскостью другой грани. Этот поворот можно рассматривать как перекатывание многогранника с одной грани на другую через его ребро. Если на первой грани нарисовать вектор, то после поворота он отпечатается на плоскости второй грани. Такой перенос вектора с одной грани на другую называется параллельным переносом вектора через ребро.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение.
Зачем.
Советы и соглашения.
Литература.
1. Кривизны кривых.
1.1. Кривые.
1.2. Кривизна кривых.
1.3. Кручение пространственных кривых.
2. Числовые кривизны поверхностей.
2.1. Поверхности.
2.2. Объемлемая и внутренняя изометрии. Скалярная кривизна.
2.3. Площадь поверхности.
2.4. Скалярная кривизна (обобщение).
2.5. Главные кривизны.
2.6. Полная средняя кривизна.
2.7. Средняя кривизна в точке.
2.8. Полная гауссова кривизна.
2.9. Гауссова кривизна в точке.
2.10. Геодезические.
2.11. Параллельный перенос.
2.12. Секционная кривизна.
3. Полилинейные кривизны поверхностей.
3.1. Длины кривых на поверхностях.
3.2. Риманова метрика. Применение к внутренним изометриям.
3.3. Оператор кривизны Вейнгартена (вторая квадратичная форма).
3.4. Билинейная форма кривизны Риччи.
3.5. Тензор кривизны Римана.
4. Ковариантное дифференцирование.
4.1. Примеры тензорных полей.
4.2. Ковариантное дифференцирование функций.
4.3. Коммутатор векторных полей.
4.4. Ковариантное дифференцирование векторных полей.
4.5. Ковариантное дифференцирование тензоров.
5. Обобщение.
5.1. Элементы гиперболической геометрии Лобачевского.
5.2. Геометрия на римановых многообразиях.

Купить .





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Скопенков