Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, 2012

Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, 2012.

  В этой монографии дается подробное описание различных математических аспектов численного решения гиперболических систем уравнений в частных производных. Весь материал излагается в тесной взаимосвязи с такими важными механическими приложениями этих систем, как газовая динамика, теория мелкой воды, магнитная гидродинамика и механика твердого деформируемого тела.
В книге рассмотрены как методы с выделением разрывов, так и методы сквозного счета, в которых эти разрывы заменяются тонкими областями резкого изменения решения. Значительное внимание уделяется построению точных и приближенных методов решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва, которое необходимо для построения численных методов, принадлежащих типу Годунова. Анализируется ряд сопутствующих вопросов, связанных с формулировкой граничных условий, реконструкцией функций на гранях ячеек по их значениям в центрах, которая позволяет сохранить монотонность численного решения задачи, введением энтропийной коррекции в алгоритм расчета с целью исключения нефизических решений и подавления специфической неустойчивости, свойственной нелинейным схемам и др.




Численное решение квазилинейных гиперболических систем.
В этой главе описаны основные подходы, которые используются для построения явных методов сквозного счета и методов с выделением разрывов для численного решения гиперболических систем уравнений. Среди них основное внимание уделяется тем методам, которые основаны на точном или приближенном решении соответствующей одномерной задачи Римана о распаде произвольного разрыва, а также методам, которые могут быть указанным образом интерпретированы. Такие методы называются методами типа Годунова. Они доказали свою надежность и работоспособность при решении многочисленных задач. Методы этого типа позволяют адекватно описывать распространение и взаимодействие различного рода разрывов, которые возникают в решениях квазилинейных систем уравнений гиперболического типа, и при этом сохраняют монотонность профилей сеточных функций.

Среди них рассматриваются численные методы типа Куранга-Изаксона-Риса (КИР). Роу и Ошера, которые основаны на различных приближенных решениях задачи Римана. В методе Ошера решение задачи о распаде произвольного разрыва строится с использованием только волн Римана. Методы типа КИР и Роу основаны на приближенном решении задачи Римана, которое строится на основе использования различным образом линеаризованных гиперболических систем уравнений. В этом случае решение состоит только из элементарных решений типа бегущих разрывов, которые отделяются друг от друга областями постоянных значений величин. Указанные методы позволяют строить разностные схемы для консервативных и неконсервативных форм гиперболических систем уравнений.

Содержание.
Предисловие ко второму изданию Введение
1. Гиперболические системы уравнений в частных производных.
1.1. Квазилинейные системы.
1.2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений.
1.2.1. Определения.
1.2.2. Системы законов сохранения.
1.3. Механические примеры.
1.3.1. Нестационарные уравнения газовой динамики.
1.3.2. Стационарные уравнения Эйлера.
1.3.3. Уравнения теории мелкой воды.
1.3.4. Уравнения идеальной магнитной гидродинамики.
1.3.5. Уравнения теории упругости.
1.4. Свойства решений.
1.4.1. Классические решения.
1.4.2. Обобщенные решения.
1.4.3. Разрывы малой амплитуды.
1.4.4. Условия эволюционности разрывов.
1.4.5. Уравнения в форме Годунова. Поведение энтропии на разрывах.
1.5. Распад произвольного разрыва.
2. Численное решение квазилинейных гиперболических систем.
2.1. Введение.
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи Римана.
2.2.1. Численный метод Годунова первого порядка точности.
2.2.2. Точное решение задачи Римана.
2.3. Численные методы, основанные па приближенных решениях задачи Римана.
2.3.1. Схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР).
2.3.2. Схемы КИР и гибридные разностные схемы.
2.3.3. Схемы КИР и схема Лакса-Фрадрихса.
2.3.4. Схемы КИР и методы Хартена-Лакса-ван Лира и WAF.
2.3.5. Схема Роу.
2.3.6. Схема Ошера.
2.4. Обобщенная задача Римана.
2.5. Метод типа Годунова второго порядка точности.
2.6. Многомерные схемы и условия их устойчивости.
2.7. Реконструкция функций и ограничители.
2.7.1. Предварительные замечания.
2.7.2. О свойствах решений гиперболических уравнений.
2.7.3. TVD-схемы.
2.7.4. Монотонная и предельная реконструкции.
2.7.5. TVD-реконструкция. Предельная TVD-реконструкция.
2.7.6. TVD-ограничители на несимметричном шаблоне.
2.7.7. Многомерная реконструкция.
2.8. Граничные условия для гиперболических систем.
2.8.1. Общие понятия.
2.8.2. Неотражающие граничные условия.
2.8.3. Эволюционные граничные условия.
2.9. Методы с выделением разрывов.
2.9.1. Выделение плавающих разрывов.
2.9.2. Выделение разрывов на подвижных сетках.
2.10. Энтропийная коррекция.
2.11. Заключительные замечания.
3. Уравнения газовой динамики.
3.1. Системы уравнений.
3.1.1. Уравнения двухтемпературной газовой динамики.
3.1.2. Смесь идеальных химически реагирующих газов.
3.2. Метод Годунова для уравнений газовой динамики.
3.3. Точное решение газодинамической задачи Римана.
3.3.1. Элементарное решение 1: ударная волна.
3.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв.
3.3.3. Элементарное решение 3: волна разрежения.
3.3.4. Точное решение общего вида.
3.3.5. Учет уравнения состояния общего вида.
3.4. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана.
3.4.1. Схемы типа КИР для уравнения состояния общего вида.
3.4.2. Моделирование явлений, вызванных ударными волнами.
3.4.3. Моделирование струй в лазерной плазме.
3.4.4. Схема Роу.
3.4.5. Метод Роу для уравнения состояния общего вида.
3.4.6. Метод Ошера-Соломона.
3.5. Методы с выделением разрывов.
3.5.1. Разрывы как границы вычислительной области.
3.5.2. Выделение плавающих разрывов.
3.5.3. Выделение разрывов движущимися сетками.
3.5.4. Самоподстраивающиеся подвижные сетки.
3.6. Стационарные уравнения газовой динамики.
3.6.1. Система уравнений.
3.6.2. Метод Годунова Конечно-объемные схемы КИР и Роу.
3.6.3. Элементарное решения задачи Римана.
3.6.4. Точное решение общего вида.
3.7. Взаимодействие солнечного ветра с межзвездной средой.
3.7.1. Взаимодействие нестационарного (периодического) звездного ветра с межзвездной средой: постановка задачи.
3.7.2. Неотражающие граничные условия.
3.7.3. Взаимодействие периодического звездного ветра с межзвездной средой: численные результаты.
3.7.4. Взаимодействие солнечного ветра с неодноротной межзвездной средой.
3.8. Замечание о методах Годунова в релятивистской гидродинамике.
4. Уравнения теории мелкой воды.
4.1. Системы уравнений.
4.2. Метод Годунова для уравнений теории мелкой воды.
4.3. Точное решение гидродинамической задачи Римана.
4.3.1. Элементарное решение 1: гидравлический скачок (бор).
4.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв.
4.3.3. Элементарное решение 3: волна Римана.
4.3.4. Точное решение общего вида.
4.4. Результаты численных расчетов, проведенных методом Годунова.
4.5. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана.
4.5.1. Разностные схемы типа Кураша-Изаксона-Риса (КИР).
4.5.2. Схема Роу.
4.5.3. Схема Ошера-Соломона.
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды.
4.6.1. Система уравнений.
4.6.2. Метод Годунова Конечно-объемные схемы КИР и Роу.
4.6.3. Элементарные решения задачи Римана.
4.6.4. Точное решение общего вида.
5. Уравнения магнитной гидродинамики.
5.1. Консервативная форма МГД-системы.
5.2. Классификация МГД-разрывов.
5.3. Эволюционные МГД ударные волны.
5.3.1. Диаграмма эволюционности.
5.3.2. Удобная форма соотношений на МГД ударных волнах.
5.3.3. Эволюционность перпендикулярных и параллельных ударных волн и волн включения и выключения.
5.3.4. Точки Жуге.
5.4. Методы высокого разрешения разрывов для МГД-уравнений.
5.4.1. Метод типа Ошера.
5.4.2. Кусочно-параболический метод.
5.4.3. Метод характеристического расщепления Роу.
5.4.4. Численные тесты схем типа Роу.
5.4.5. Модифицированная МГД-система.
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в магнитной гидродинамике.
5.5.1. Предварительные замечания.
5.5.2. Упрощенная МГД-система и связанные с ней разрывы.
5.5.3. Структура ударных волн в решениях упрощенной системы.
5.5.4. Нестационарные процессы в структуре неэволюционных ударных волн.
5.5.5. Численные эксперименты, основанные на полной МГД-системе.
5.5.6. Численный распад составной МГД-волны.
5.6. Сильное фоновое магнитное поле.
5.7. Исключение численного магнитного заряда.
5.7.1. Предварительные замечания.
5.7.2. Применение векторного потенциала.
5.7.3. Использование искусственного скалярного потенциала.
5.7.4. Использование модифицированной МГД-системы.
5.7.5. Применение смешенных сеток.
5.7.6. Другие подходы к обеспечению бездивергентности магнитного поля.
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой.
5.8.1. Постановка задачи.
5.8.2. Вычислительный алгоритм.
5.8.3. Численные результаты: осесимметричный случай.
5.8.4. Численные результаты: возмущенное течение.
5.8.5. Замечание о МГД-течении около бесконечно проводящего цилиндра.
5.8.6. Численные результаты: трехмерное моделирование.
6. Динамика твердого деформируемого тела.
6.1. Системы уравнений.
6.1.1. Простейшая модель твердого деформируемого тела.
6.1.2. Квази консервативные формы уравнений динамики деформируемых тел.
6.1.3. Динамика тонких оболочек.
6.2. Схемы типа КИР в динамике твердого деформируемого тела.
6.2.1. Численное исследование процессов откола.
6.3. Схемы типа КИР в динамике тонких оболочек.
6.3.1. Уравнение Клейна-Гордона.
6.3.2. Уравнения динамики изотропных оболочек.
6.3.3. Уравнения динамики ортотропной оболочки.
6.3.4. Выделение быстро осциллирующих компонент.
7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем.
7.1. Условия эволюционности разрывов в неклассических случаях.
7.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах.
7.2.1. Уравнения, описывающие структуру разрыва.
7.2.2. Постановка задачи о структуре и дополнительные предположения.
7.2.3. Поведение решений при ξ → ±∞.
7.2.4. Дополнительные соотношения на разрывах.
7.2.5. Основной результат и его обсуждение.
7.2.6. Замечание о выводе дополнительных соотношений при нарушении условия непрерывности структуры ударной волны.
7.2.7. Адиабата Гюгонио.
7.3. Поведение ударной адиабаты в окрестности точек Жуге и неединственность автомодельных решений.
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих и вязкоупругих средах.
7.4.1. Основные у равнения.
7.4.2. Квазипродольные волны.
7.4.3. Квазипоперечные волны.
7.4.4. Подобие нелинейных явлений.
7.4.5. Волны Римана.
7.4.6. Ударные волны.
7.4.7. Автомодельные задачи и неединственность решения.
7.4.8. Волны в вязкоупругих средах. Исчезающая вязкость.
7.4.9. Роль волновой анизотропии и переход к изотропному пределу.
7.4.10. Заключительные замечания.
7.5. Ударные волны в упругих композитных материалах.
7.5.1. Основные уравнения.
7.5.2. Структура разрывов. Допустимые разрывы.
7.5.3. Неединственность решений автомодельной волновой задачи.
7.5.4. Решения полной системы уравнений в частных производных и их асимптотики.
7.5.5. Выводы.
7.6. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках.
7.6.1. Приближение длинных волн. Упругая аналогия.
7.6.2. Структура электромагнитных ударных волн. Допустимые разрывы.
7.6.3. Гиперболическая модель. Неединственность решений.
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях.
7.7.1. Крупномасштабная модель.
7.7.2. Модель движений умеренного масштаба.
7.7.3. Структура разрывов, допустимые разрывы.
7.7.4. Гиперболическая крупномасштабная модель. Неединственность.
7.7.5. Численное исследование задач с автомодельной асимптотикой.
7.7.6. Выводы.
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле.
7.8.1. Крупномасштабная модель.
7.8.2. Модель для умеренных масштабов.
7.8.3. Множество допустимых разрывов.
7.8.4. Простейшая автомодельная задача.
7.8.5. Изменение скорости газа во фронтах ионизации.
7.8.6. Построение решения задачи о поршне.
7.9. Заключение.
Список литературы



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика