Лекции по алгебре, Фаддеев Д.К., 2007

Лекции по алгебре, Фаддеев Д.К., 2007.
 
   Учебное пособие представляет собой изложение курса лекций по алгебре, читавшегося автором в Санкт-Петербургском государственном университете на протяжении ряда лет. Этот курс рассчитан на 3 семестра. Большим достоинством книги является то, что абстрактные понятия вводятся в ней как результаты обобщения конкретного математического материала.
Для студентов университетов и пединститутов.




Некоторые общие понятия алгебры.
Группы. В теории сравнений мы встретились с новым явлением, имеющим большую принципиальную важность. Мы обнаружили математические объекты, именно, классы по модулю, не являющиеся числами, но над которыми мы имеем возможность совершать алгебраические действия. Свойства этих действий напоминают свойства действий над числами. Подобного рода системы объектов возникают в математике в разнообразных ситуациях, и это делает естественной и необходимой формализацию возникающих на этом пути более общих понятий.

Полугруппой называется множество, в котором определено действие, сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов третий — результат действия. Действие предполагается ассоциативным. Полугруппами являются: множество целых неотрицательных чисел относительно действия сложения, то же множество относительно действия умножения (это совсем другая полугруппа), множество классов по модулю относительно умножения. Во всех этих примерах действие коммутативно.

Оглавление
Предисловие
Глава I ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
§1. Теория делимости целых чисел
§2. Теория сравнений
§3. Некоторые общие понятия алгебры
Глава II КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§1. Обоснование комплексных чисел
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
§3. Извлечение корня из комплексного числа
§4. Корни из единицы
§5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной
Глава III ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
§1. Полиномы от одной буквы
§2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени
§3. Полиномы от нескольких букв
Глава IV МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§1. Матрицы и действия над ними
§2. Теория определителей
§3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)
§4. Системы линейных уравнений общего вида
§5. Дальнейшие свойства определителей
§6. Обращение квадратных матриц
§7. Характеристический полином матрицы
Глава V КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв
§2. Закон инерции квадратичных форм
§3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому
§4. Эрмитовы формы
Глава VI ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
§1. Теория делимости для полиномов от одной буквы
§2. Производная
§3. Рациональные дроби
§4. Интерполяция
Глава VII СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§1. Сравнения в кольце полиномов над полем
§2. Расширение полей
Глава VIII ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ
§1. Полиномы с целыми коэффициентами
§2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом
Глава IX РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
§1. Существование корней в С
§2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной
§3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами
§4. Обобщенная теорема Штурма
§5. Приближенное вычисление корней полинома
Глава X ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§1. Простейшие сведения
§2. Нормальные подгруппы и факторгруппы
§3. Гомоморфизм
§4. Прямое произведение групп
§5. Группы преобразований
§6. Свободная группа
§7. Свободные произведения групп
§8. Конечные абелевы группы
§9. Конечно порожденные абелевы группы
Глава XI СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
§1. Выражение симметрических полиномов через основные
§2. Значения симметрических полиномов от корней полинома
§3. Результант
Глава XII ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§1. Определения и простейшие свойства
§2. Подпространства
§3. Линейные функции
§4. Линейные отображения векторных пространств
§5. Линейные операторы в векторном пространстве
§6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел
§7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел
Глава XIII ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
§1. Определения и простейшие свойства
§2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства
§3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами
§4. Операторы в унитарном пространстве
§5. Операторы в евклидовом пространстве
§6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду
§7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное
§8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве
Глава XIV ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
§1. Основные понятия
§2. Действия над тензорами
§3. Симметричные и антисимметричные тензоры
§4. Тензорные произведения векторных пространств
Глава XV АЛГЕБРЫ
§1. Общие сведения
§2. Алгебра кватернионов
§3. Внешняя алгебра
Список литературы.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Фаддеев