Группы отражений и правильные многогранники, Смирнов Е.Ю., 2009

Группы отражений и правильные многогранники, Смирнов Е.Ю., 2009.

  Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 20-26 июля 2008 г. В ней излагается классификация правильных многогранников в евклидовом пространстве произвольной размерности. Попутно читатель знакомится с такими важными алгебраическими понятиями, как группы отражений и системы корней.
Материал, изложенный в брошюре, иллюстрирует связь геометрии, теории групп и комбинаторики.
Брошюра адресована студентам младших курсов.



Доказательство теоремы 3.5: инструментарий.
Нетрудно видеть, что можно ограничиться рассмотрением связных графов Кокстера: если граф несвязен, то соответствующая группа отражений (если она существует) распадается в прямое произведение нескольких подгрупп отражений, каждая из которых соответствует связной компоненте графа Кокстера (соответственно, система корней распадается в несколько ортогональных подсистем). Поэтому достаточно описать все связные допустимые графы Кокстера. Группы отражений и их системы корней, соответствующие связным графам Кокстера, будем называть неразложимыми.

Общая стратегия нашего доказательства будет такова: мы выясним, каких подграфов не может быть в допустимом графе. В итоге мы придем к тому, что все графы, не содержащие этих запрещенных подграфов, суть в точности графы из теоремы 3.5. После этого нам останется лишь предъявить примеры групп отражений, соответствующих этим графам.

Оглавление
Введение
Лекция 1
1.1. Правильные многогранники в размерностях 2 и 3
1.2. Группы отражений: основные определения и первые примеры
Лекция 2
2.1. Системы корней
2.2. Простые и положительные корни
2.3. Сопряженность систем простых и положительных корней
2.4. Группа W порождается простыми отражениями
2.5. Многогранные конусы и двойственность
2.6. Камеры Вейля и фундаментальная область группы отражений
Интермедия: группы отражений и кватернионы
2 1/2.1. Двулистное накрытие Sp(1) → SO(3)
2 1/2.2. Конечные подгруппы в Н суть системы корней
2 1/2.З. Бинарные группы Платоновых тел
Лекция 3
3.1. Графы Кокстера: определение
3.2. Классификация конечных групп отражений: формулировка результата
3.3. Доказательство теоремы 3.5: инструментарий
3.4. Доказательство теоремы 3.5: необходимость
3.5. Доказательство теоремы 3.5: достаточность
Лекция 4
4.1. Правильные многогранники и их группы симметрий
4.2. Образующие группы Sym M и соотношения между ними
4.3. Система корней группы Sym M
4.4. Построение правильного многогранника по его группе симметрий
4.5. Подсчет числа граней у правильных многогранников
Литература.

Купить книгу Группы отражений и правильные многогранники, Смирнов Е.Ю., 2009 .





Теги: учебник по математике :: математика :: Смирнов