Курс алгебры, Винберг Э.Б., 2001

Курс алгебры, Винберг Э.Б., 2001.

Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры, читаемого в течение трех семестров на математических факультетах университетов. В нее включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теории конечномерных ассоциативных алгебр, и теории групп Ли.

Это позволяет использовать книгу не только как учебник по общему курсу алгебры, но и как пособие для тех, кто желает углубить свои познания в алгебре. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.

Для математиков и физиков студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.





Предисловие
Предисловие ко второму изданию
Глава 1. Алгебраические структуры
§ 1. Введение
§ 2. Абелевы группы
§ 3. Кольца и поля
§ 4. Подгруппы, подкольца и подполя
§ 5. Поле комплексных чисел
§ 6. Кольца вычетов
§ 7. Векторные пространства
§ 8. Алгебры
§ 9. Алгебра матриц
Глава 2. Начала линейной алгебры
§ 1. Системы линейных уравнений
§ 2. Базис и размерность векторного пространства
§ 3. Линейные отображения
§ 4. Определители
§ 5. Некоторые приложения определителей
Глава 3. Начала алгебры многочленов
§ 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов
§ 2. Общие свойства корней многочленов
§ 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
§ 4. Корни многочленов с вещественными коэффициентами
§ 5. Теория делимости в евклидовых кольцах
§ 6. Многочлены с рациональными коэффициентами
§ 7. Многочлены от нескольких переменных
§ 8. Симметрические многочлены
§ 9. Кубические уравнения
§ 10. Поле рациональных дробей
Глава 4. Начала теории групп
§ 1. Определение и примеры
§ 2. Группы в геометрии и физике
§ 3. Циклические группы
§ 4. Системы порождающих
§ 5. Разбиение на смежные классы
§ 6. Гомоморфизмы
Глава 5. Векторные пространства
§ 1. Взаимное расположение подпространств
§ 2. Линейные функции
§ 3. Билинейные и квадратичные функции
§ 4. Евклидовы пространства
§ 5. Эрмитовы пространства
Глава 6. Линейные операторы
§ 1. Матрица линейного оператора
§ 2. Собственные векторы
§ 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом
пространстве
§ 4. Жорданова форма
§ 5. Функции от линейного оператора
Глава 7. Аффинные и проективные пространства
§ 1. Аффинные пространства
§ 2. Выпуклые множества
§ 3. Аффинные преобразования и движения
§ 4. Квадрики
§ 5. Проективные пространства
Глава 8. Тензорная алгебра
§ 1. Тензорное произведение векторных пространств
§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства
§ 3. Симметрическая алгебра
§ 4. Алгебра Грассмана Глава
9. Коммутативные кольца
§ 1. Абелевы группы
§ 2. Идеалы и факгоркольца
§ 3. Модули над кольцами главных идеалов
§ 2. Нётеровы кольца
§ 3. Алгебраические расширения
§ 4. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические
многообразия
§ 5. Разложение на простые множители
Глава 10. Группы
§ 1. Прямые и полупрямые произведения
§ 2. Коммутант


Примеры.
Множество векторов пространства с операциями сложения и векторного умножения является примером алгебраической структуры с двумя операциями. Кстати, отметим, что скалярное умножение векторов не является операцией в определенном выше смысле, так как его результат не есть элемент того же множества. Подобные более общие операции также рассматриваются в алгебре, но мы пока не будем об этом думать.
Все приведенные выше примеры являются естественными в том смысле, что они были открыты в результате изучения реального мира и внутреннего развития математики. В принципе можно рассматривать любые операции в любых множествах.

Например, можно рассматривать операцию в множестве Z+I ставящую в соответствие любым двум числам число совпадающих цифр в их десятичной записи. Однако лишь немногие алгебраические структуры представляют реальный интерес. Следует уточнить, что алгебраиста интересуют только те свойства алгебраических структур и составляющих их элементов, которые могут быть выражены в терминах заданных операций. Этот подход находит свое выражение в понятии изоморфизма.

Купить книгу Курс алгебры, Винберг Э.Б., 2001 .

Купить книгу Курс алгебры, Винберг Э.Б., 2001 .





Теги: математика :: алгебра :: Винберг