Готуємось до олімпіади з математики, книга 2

Готуємось до олімпіади з математики, Книга 2.

Розділ 1. Функціональні рівняння.
Розділ 2. Циклічні системи рівнянь.
Розділ 3. Доведення нерівностей.

Спосіб невизначених коефіцієнтів.

Цей спосіб застосовується в тих випадках, коли за зовнішнім виглядом функціонального рівняння можна встановити загальний вигляд шуканої функції. Перш за все це стосується цілих і дробово-раціональних функцій. Корисно пам'ятати, що для цілих і дробово-раціональних функцій f(х) і g(х) функції ᵩ(х) =af (х)+Ьg(х), де а, Ь сталі числа, і ψ(х) =f(g(x))∊ Цілими та дробово-раціональними відповідно; при цьому якщо f(х) і g(х) лінійні або дробово-лінійні, то й φ(х), ψ (х) також лінійні або дробово-лінійні.
Пояснимо суть способу невизначених коефіцієнтів на задачах.

 

Спосіб підстановок.
Спосіб підстановок — найбільш поширений і найбільш дієвий спосіб розв'язування функціональних рівнянь. Він дає змогу розв'язування функціональних рівнянь звести до розв'язування рівнянь відомих типів, зокрема алгебраїчних рівнянь та їх систем. Однак конкретних рекомендацій, коли і як його можна використати, не існує. Суть цього способу викладемо, розв'язуючи конкретні рівняння.

Розв'язуючи функціональні рівняння способом підстановок, ми фактично визначаємо, яким повинен бути розв'язок. Тому перевіркою треба переконатися, що здобута функція дійсно є розв'язком рівняння. У тих випадках, коли розв'язування функціональних рівнянь зводиться до розв'язування системи двох алгебраїчних рівнянь, підстановки визначаються досить просто. Значно складніше це зробити, коли функціональне рівняння зводиться до системи трьох і більше рівнянь.

Функціональні рівняння з вільними змінними.
Спектр функціональних рівнянь з вільними змінними значно ширший від спектра рівнянь без вільних змінних. І для цих рівнянь одним з основних способів розв'язання є спосіб підстановок. Однак, розв'язуючи одне й те ж функціональне рівняння з вільними змінними, можна використовувати не тільки різні підстановки, а й різні способи розв'язань. Від вдалого їх вибору і вмілого застосування часто залежить як ефективність, так іноді й ефектність їх використання. Почнемо із задач, у яких внутрішня функція складеної функції залежить тільки від незалежної і вільної змінних.

Метод Коші.
Цей метод використовують для знаходження неперервних розв'язків функціональних рівнянь з вільними змінними. Розробив його на початку XIX століття видатний французький математик Коші, розв'язуючи рівняння
                                                             f(x+у)=f(x)+f(у),
яке також називають його іменем - рівняння Коші. Суть методу Коші полягає в тому, що пошук неперервної функції f, яка є розв'язком функціонального рівняння, ведеться поетапно. Насамперед припускається, що шукана функція справджує задану рівність, 1 за допомогою вдало дібраних підстановок ця функція визначається спочатку на множині натуральних чисел, потім -  на множині
цілих чисел і далі - на множині раціональних чисел. Після цього граничним переходом функцію визначають на множині ірраціональних чисел. Результатом пошуків є формула, яка визначає шукану функцію на заданій в задачі множині. Завершується розв'язання обов'язковою перевіркою того, що знайдена функція справджує умови задачі. Проілюструємо застосування методу Коші під час розв'язування наступних задач. Насамперед викладемо розв'язання рівняння Коші.

Під час доведення нерівностей використовують: загальні методи доведення математичних тверджень:
1) метод від супротивного,
2) аналітичний метод,
3) синтетичний метод,
4) метод математичної індукції; спеціальні способи:
1) за означенням числової нерівності,
2) способи посилення та послаблення,
3) за властивостями квадратного тричлена,
4) зведення до очевидних або відомих нерівностей; штучні прийоми, які базуються на:
1) властивостях векторів,
2) монотонності площ і об'ємів,
3) геометричному змісті визначеного інтеграла,
4) застосуванні похідної для дослідження функцій.
Найбільш відомими нерівностями, до яких вдаються під час доведення, є:

Властивість монотонності площ можна застосувати не тільки для простих фігур, а й для інших плоских фігур, які мають площу. Це, зокрема, стосується криволінійних трапецій. Оскільки обчислення площі криволінійної трапеції можна звести до обчислення визначеного інтеграла, то можна, використовуючи монотонність площ, залучити інтеграл до доведення нерівностей.

 Доведення нерівностей за допомогою похідних.
Похідна функції дає достатні умови монотонності функції і правило відшукання найменшого і найбільшого значення функції, заданої на відрізку. Зважаючи на це, похідну можна залучити до доведення числових нерівностей і нерівностей зі змінними.

 

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Готуємось до олімпіади з математики, книга 2 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Готуємось до олімпіади з математики, Книга 2 - pdf - depositfiles.

Скачать книгу Готуємось до олімпіади з математики, Книга 2 - pdf - Яндекс.Диск.

Теги: математика :: книга 2