Прикладная линейная алгебра для исследователей данных, Коэн М.И., 2023

Прикладная линейная алгебра для исследователей данных, Коэн М.И., 2023.
      
   В этой книге рассказывается о ключевых концепциях линейной алгебры, реализованных на Python, и о том, как их использовать в науке о данных, машинном и глубоком обучении и вычислительном моделировании. Рассматриваются интерпретации и приложения векторов и матриц, матричная арифметика, важные разложения, используемые в прикладной линейной алгебре, и пр. Прочитав книгу, вы научитесь внедрять и адаптировать под свои задачи целый ряд современных методов анализа и алгоритмов.
Издание адресовано специалистам по обработке данных, а также будет полезно студентам и широкому кругу разработчиков ПО.




Геометрия векторов.
Упорядоченный список чисел - это алгебраическая интерпретация вектора; геометрическая интерпретация вектора представляет собой прямой отрезок с определенной длиной (также именуемой модулем вектора1) и направлением (также именуемым углом; он вычисляется относительно положительной оси х). Две точки вектора называются хвостом (где он начинается) и головой (где он заканчивается); голова часто имеет наконечник стрелки, чтобы устранить неоднозначность с хвостом.

Возможно, вы подумали, что в векторе кодируется геометрическая координата, но векторы и координаты - это на самом деле разные вещи. Однако они согласуются, когда вектор начинается в начале координат. Этот случай называется стандартным положением и проиллюстрирован на рис. 2.1.

Концептуализация векторов в геометрическом либо алгебраическом плане облегчает интуитивное понимание в различных приложениях, но это просто две стороны одной медали. Например, геометрическая интерпретация вектора широко применяется в физике и инженерии (например, для представления физических сил), а алгебраическая интерпретация вектора -в науке о данных (например, для хранения данных о продажах во временной динамике). Нередко линейно-алгебраические концепции усваиваются геометрически на 2D-графиках, а затем расширяются до более высоких измерений с помощью алгебры.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
От издательства.
Об авторе.
Колофон.
Предисловие.
Глава 1. Введение.
Что такое линейная алгебра и зачем ее изучать?.
Об этой книге.
Предварительные требования.
Математика.
Отношение.
Программирование.
Математические доказательства в противовес интуитивному пониманию на основе программирования.
Рабочий код в книге и предназначенный для скачивания онлайн.
Упражнения по программированию.
Как пользоваться этой книгой (для учителей и самообучающихся).
Глава 2. Векторы. Часть 1.
Создание и визуализация векторов в NumPy.
Геометрия векторов.
Операции на векторах.
Сложение двух векторов.
Вычитание двух векторов.
Геометрия сложения и вычитания векторов.
Умножение вектора на скаляр.
Сложение скаляра с вектором.
Геометрия умножения вектора на скаляр.
Транспонирование.
Транслирование векторов в Python.
Модуль вектора и единичные векторы.
Точечное произведение векторов.
Точечное произведение является дистрибутивным.
Геометрия точечного произведения.
Другие умножения векторов.
Адамарово умножение.
Внешнее произведение.
Перекрестное и тройное произведения.
Ортогональное разложение векторов.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 3. Векторы. Часть 2.
Множества векторов.
Линейно-взвешенная комбинация.
Линейная независимость.
Математика линейной независимости.
Независимость и вектор нулей.
Подпространство и охват.
Базис.
Определение базиса.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 4. Применения векторов.
Корреляция и косинусное сходство.
Фильтрация временных рядов и обнаружение признаков.
Кластеризация методом k-средних.
Упражнения по программированию.
Упражнения по корреляции.
Упражнения по фильтрации и обнаружению признаков.
Упражнения по алгоритму k-средних.
Глава 5. Матрицы. Часть 1.
Создание и визуализация матриц в NumPy.
Визуализация, индексация и нарезка матриц.
Специальные матрицы.
Матричная математика: сложение, умножение на скаляр, адамарово умножение.
Сложение и вычитание.
«Сдвиг» матрицы.
Умножение на скаляр и адамарово умножение.
Стандартное умножение матриц.
Правила допустимости умножения матриц.
Умножение матриц.
Умножение матрицы на вектор.
Линейно-взвешенные комбинации.
Результаты геометрических преобразований.
Матричные операции: транспонирование.
Обозначение точечного и внешнего произведений.
Матричные операции: LIVE EVIL (порядок следования операций).
Симметричные матрицы.
Создание симметричных матриц из несимметричных.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 6. Матрицы. Часть 2.
Нормы матриц.
След матрицы и норма Фробениуса.
Пространства матрицы (столбцовое, строчное, нуль-пространство).
Столбцовое пространство.
Строчное пространство.
Нуль-пространства.
Ранг.
Ранги специальных матриц.
Ранг сложенных и умноженных матриц.
Ранг сдвинутых матриц.
Теория и практика.
Применения ранга.
В столбцовом пространстве.
Линейная независимость множества векторов.
Определитель.
Вычисление определителя.
Определитель с линейными зависимостями.
Характеристический многочлен.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 7. Применения матриц.
Матрицы ковариаций многопеременных данных.
Геометрические преобразования посредством умножения матриц на векторы.
Обнаружение признаков изображения.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Упражнения по матрицам ковариаций и корреляций.
Упражнения по геометрическим преобразованиям.
Упражнения по обнаружению признаков изображения.
Глава 8. Обратные матрицы.
Обратная матрица.
Типы обратных матриц и условия обратимости.
Вычисление обратной матрицы.
Обратная матрица матрицы 2×2.
Обратная матрица диагональной матрицы.
Инвертирование любой квадратной полноранговой матрицы.
Односторонние обратные матрицы.
Уникальность обратной матрицы.
Псевдообратная матрица Мура–Пенроуза.
Численная стабильность обратной матрицы.
Геометрическая интерпретация обратной матрицы.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 9. Ортогональные матрицы и QR-разложение.
Ортогональные матрицы.
Процедура Грама–Шмидта.
QR-разложение.
Размеры матриц Q и R.
Почему матрица R является верхнетреугольной.
QR и обратные матрицы.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 10. Приведение строк и LU-разложение.
Системы уравнений.
Конвертирование уравнений в матрицы.
Работа с матричными уравнениями.
Приведение строк.
Метод устранения по Гауссу.
Метод устранения по Гауссу–Жордану.
Обратная матрица посредством метода устранения по Гауссу–Жордану.
LU-разложение.
Взаимообмен строками посредством матриц перестановок.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 11. Общие линейные модели и наименьшие квадраты.
Общие линейные модели.
Терминология.
Настройка общей линейной модели.
Решение общих линейных моделей.
Является ли решение точным?.
Геометрическая перспектива наименьших квадратов.
В чем причина работы метода наименьших квадратов?.
Общая линейная модель на простом примере.
Наименьшие квадраты посредством QR-разложения.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 12. Применения метода наименьших квадратов.
Предсказывание количеств велопрокатов на основе погоды.
Регрессионная таблица с использованием библиотеки statsmodels. Мультиколлинеарность.
Регуляризация.
Полиномиальная регрессия.
Поиск в параметрической решетке для отыскания модельных параметров.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Упражнения по аренде велосипедов.
Упражнения по мультиколлинеарности.
Упражнения по регуляризации.
Упражнение по полиномиальной регрессии.
Упражнения по поиску в параметрической решетке.
Глава 13. Собственное разложение.
Интерпретации собственных чисел и собственных векторов.
Геометрия.
Статистика (анализ главных компонент).
Подавление шума.
Уменьшение размерности (сжатие данных).
Отыскание собственных чисел.
Отыскание собственных векторов.
Неопределенность собственных векторов по знаку и шкале.
Диагонализация квадратной матрицы.
Особая удивительность симметричных матриц.
Ортогональные собственные векторы.
Действительно-значные собственные числа.
Собственное разложение сингулярных матриц.
Квадратичная форма, определенность и собственные числа.
Квадратичная форма матрицы.
Определенность.
ATA является положительной (полу)определенной.
Обобщенное собственное разложение.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 14. Сингулярное разложение.
Общая картина сингулярного разложения.
Сингулярные числа и ранг матрицы.
Сингулярное разложение на Python.
Сингулярное разложение и одноранговые «слои» матрицы.
Сингулярное разложение из собственного разложения.
Сингулярное разложение матрицы АТА.
Конвертация сингулярных чисел в дисперсию: объяснение.
Кондиционное число.
Сингулярное разложение и псевдообратная матрица Mура–Пенроуза.
Резюме.
Упражнения по программированию.
Глава 15. Применения собственного и сингулярного разложений.
Анализ главных компонент с использованием собственного и сингулярного разложений.
Математика анализа главных компонент.
Шаги выполнения PCA.
PCA посредством сингулярного разложения.
Линейный дискриминантный анализ.
Низкоранговая аппроксимация посредством сингулярного разложения.
Сингулярное разложение для шумоподавления.
Резюме.
Упражнения.
Анализ главных компонент (PCA).
Линейный дискриминантный анализ (LDA).
Сингулярное разложение для низкоранговых аппроксимаций.
Сингулярное разложение для шумоподавления в изображениях.
Глава 16. Краткое руководство по языку Python.
Почему Python и какие есть альтернативы?.
Интерактивные среды разработки.
Использование Python локально и онлайн.
Работа с файлами исходного кода в Google Colab.
Переменные.
Типы данных.
Индексация.
Функции.
Методы в качестве функций.
Написание своих собственных функций.
Библиотеки.
NumPy.
Индексация и нарезка в NumPy.
Визуализация.
Переложение формул в исходный код.
Форматирование печати и F-строки.
Поток управления.
Компараторы.
Инструкции if.
Инструкции elif и else.
Несколько условий.
Циклы for.
Вложенные инструкции управления.
Измерение времени вычислений.
Получение помощи и приобретение новых знаний.
Что делать, когда дела идут наперекосяк.
Резюме.
Дополнение А. Теорема о ранге и нульности.
Тематический указатель.

Купить .





Теги: учебник по программированию :: программирование :: Коэн :: матрицв :: норма Фробениуса :: вектор