Численные методы, Гавришина О.Н., Захаров Ю.Н., Фомина Л.Н., 2011

Численные методы, Гавришина О.Н., Захаров Ю.Н., Фомина Л.Н., 2011.

   В учебном пособии представлены к рассмотрению теоретические аспекты тем курса «Численные методы»: элементы теории погрешностей: интерполирование; численное интегрирование; спектральная задача; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение нелинейных систем и уравнений; приближенные методы решения задачи Коши и краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Изложены основы численных методов и алгоритмов решения математических задач, представлено большое количество примеров с решением, вариантов заданий для самостоятельной работы. Представлены логические карты-схемы по каждой теме и требования к разноуровневым знаниям студентов на соответственно «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно».
Рекомендуется для студентов математического факультета очного и заочного форм обучения.




Обусловленность матрицы.
При исследовании численных методов для решения математических задач необходимо различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма. Для каждой математической задачи принято рассматривать вопрос о ее корректности.

Определение 1. Говорят, что задача поставлена корректно, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных.

Рассмотрим систему Ax=f, (3.1) где А - квадратная, неособенная матрица размерности m, и, следовательно, det(A) = 0. Тогда существует единственное решение системы. Чтобы убедиться в корректности задачи (3.1) необходимо еще установить непрерывную зависимость решения от входных данных. Входными данными являются правая часть f и элементы матрицы А.

Соответственно, различают устойчивость по правой части, когда возмущается только правая часть f, а матрица А остается неизменной, и коэффициентную устойчивость, когда возмущается только матрица А.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Оценка погрешностей при вычислениях.
§1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности.
§2. Погрешность вычисления функции.
Глава 2. Решение спектральной задачи.
§1. Метод скалярных произведений (степенной метод).
§2. Метод вращения.
Глава 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
§1. Обусловленность матрицы.
§2. Метод Гаусса.
§3. Метод Гаусса с выбором главного элемента.
§4. Нахождение определителя и обращение матрицы с помощью метода Гаусса.
§5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
§6. Оценка погрешности итераций.
§7. Оптимизация скорости сходимости итерационного процесса.
§8. Итерационные методы вариационного типа.
Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений.
§1. Постановка задачи.
§2. Метод простой итерации для системы уравнений.
§3. Метод Ньютона для системы уравнений.
§4. Метод простой итерации для двух уравнений.
§5. Метод Ньютона для двух уравнений.
§6. Решение нелинейного уравнения одного переменного. Постановка задачи.
§7. Метод последовательных приближений (метод простой итерации для нелинейного уравнения).
§8. Метод Ньютона (метод касательных).
§9. Метод Ньютона модифицированный.
§10. Метод половинного деления (метод проб, метод дихотомии).
§11. Метод пропорционального деления (метод хорд).
Глава 5. Интерполирование.
§1. Постановка задачи интерполирования.
§2. Интерполяционная формула Лагранжа.
§3. Погрешность многочлена Лагранжа.
§4. Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционный многочлен Эрмита.
§5. Интерполяционная формула Ньютона.
§6. Формулы Ньютона и Гаусса с конечными разностями.
§7. Сходимость интерполяционного процесса.
§8. Многочлены Чебышева.
§9. Интерполирование сплайнами.
§10. Кубический сплайн.
Глава 6. Численное интегрирование.
§1. Постановка задачи.
§2. Простейшие формулы Ньютона–Котеса.
§3. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка.
§4. Квадратурная формула Гаусса.
§5. Правило Рунге.
Глава 7. Приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
§1. Постановка задачи Коши.
§2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
§3. Метод последовательных приближений.
§4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Рунге-Кутта.
§5. Многошаговые методы решения задачи Коши.
Глава 8. Приближенные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
§1. Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
§2. Метод конечных разностей.
§3. Метод прогонки.
§4. Метод прогонки со вторым порядком аппроксимации краевых условий.
§5. Устойчивость метода прогонки.
§6. Проекционные методы решения краевых задач.
Глава 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
§1. Постановка задачи.
§2. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем.
§3. Решение уравнения параболического типа.
§4. Решение уравнения эллиптического типа.
Литература.
Приложение.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Численные методы, Гавришина О.Н., Захаров Ю.Н., Фомина Л.Н., 2011 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Гавришина :: Захаров :: Фомина