Кратные и криволинейные интегралы, Элементы теории поля, Гаврилов В.Р., Иванова Б.Б., Морозова В.Д., 2003

Кратные и криволинейные интегралы, Элементы теории поля, Гаврилов В.Р., Иванова Б.Б., Морозова В.Д., 2003.

   Книга является седьмым выпуском комплекса учебников “Математика в техническом университете”. Она знакомит читателя с кратными, криволинейными и поверхностными интегралами и с методами их вычисления. В ней уделено внимание приложениям этих типов интегралов, приведены примеры физического, механического и технического содержания. В заключительных главах изложены элементы теории поля и векторного анализа.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.




Использование одномерных квадратурных формул.
Трудоемкость вычисления кратного интеграла с помощью численного интегрирования зависит от сложности подынтегральной функции и области интегрирования и в сильной степени — от кратности интеграла. Сначала рассмотрим наиболее простую ситуацию, когда область интегрирования ограничена координатными поверхностями какой-либо системы координат или же может быть преобразована в такую область заменой переменных.

Если область интегрирования кратного интеграла является n-мерным промежутком (для двойного интеграла это соответствует прямоугольнику, а для тройного интеграла — прямоугольному параллелепипеду), то каждое переменное интегрирования изменяется независимо, в пределах фиксированного отрезка. Поэтому в повторном интеграле пределы интегрирования всех внутренних определенных интегралов будут постоянными, а вычисление повторного интеграла можно проводить с использованием какой-либо квадратурной формулы.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Основные обозначения.
1. Двойные интегралы.
1.1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
1.2. Определение двойного интеграла.
1.3. Условия существования двойного интеграла.
1.4. Классы интегрируемых функций.
1.5. Свойства двойного интеграла.
1.6. Теоремы о среднем значении для двойного интеграла.
1.7. Вычисление двойного интеграла.
1.8. Криволинейные координаты на плоскости.
1.9. Замена переменных в двойном интеграле.
1.10. Площадь поверхности.
1.11. Несобственные двойные интегралы.
Вопросы и задачи.
2. Тройные интегралы.
2.1. Задача о вычислении массы тела.
2.2. Определение тройного интеграла.
2.3. Свойства тройного интеграла.
2.4. Вычисление тройного интеграла.
2.5. Замена переменных в тройном интеграле.
2.6. Цилиндрические и сферические координаты.
2.7. Приложения двойных и тройных интегралов.
Вопросы и задачи.
3. Кратные интегралы.
3.1. Мера Жордана.
3.2. Интеграл по измеримому множеству.
3.3. Суммы Дарбу и критерии интегрируемости функции.
3.4. Свойства интегрируемых функций и кратного интеграла.
3.5. Сведение кратного интеграла к повторному.
3.6. Замена переменных в кратном интеграле.
3.7. Кратные несобственные интегралы.
Вопросы и задачи.
4. Численное интегрирование.
4.1. Использование одномерных квадратурных формул.
4.2. Кубатурные формулы.
4.3. Многомерные кубатурные формулы.
4.4. Метод статистических испытаний.
4.5. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло Вопросы и задачи.
5. Криволинейные интегралы.
5.1. Криволинейный интеграл первого рода.
5.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
5.3. Механические приложения криволинейного интеграла первого рода.
5.4. Криволинейный интеграл второго рода.
5.5. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода.
5.6. Свойства криволинейного интеграла второго рода.
5.7. Формула Грина.
5.8. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
5.9. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Д.5.1. Криволинейный интеграл в многосвязной области.
Вопросы и задачи.
6. Поверхностные интегралы.
6.1. О задании поверхности в пространстве.
6.2. Односторонние и двусторонние поверхности.
6.3. Площадь поверхности.
6.4. Поверхностный интеграл первого рода.
6.5. Приложения поверхностного интеграла первого рода.
6.6. Поверхностный интеграл второго рода.
6.7. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода.
6.8. Формула Стокса.
6.9. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве.
6.10. Формула Остроградского — Гаусса.
Вопросы и задачи.
7. Элементы теории поля.
7.1. Скалярное поле.
7.2. Градиент скалярного поля.
7.3. Векторное поле.
7.4. Векторные линии.
7.5. Поток векторного поля и дивергенция.
7.6. Циркуляция векторного поля и ротор.
7.7. Простейшие типы векторных полей.
Д.7.1. Безвихревое поле в многосвязной области.
Д.7.2. Векторный потенциал соленоидального поля.
Вопросы и задачи.
8. Основы векторного анализа.
8.1. Оператор Гамильтона.
8.2. Свойства оператора Гамильтона.
8.3. Дифференциальные операции второго порядка.
8.4. Интегральные формулы.
8.5. Обратная задача теории поля.
Д.8.1. Дифференциальные операции в ортогональных криволинейных координатах.
Вопросы и задачи.
Список рекомендуемой литературы.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Гаврилов :: Иванова :: Морозова :: интегралы