Курс математического анализа, том 3, часть 1, Гурса Э., 1933

Курс математического анализа, Том 3, Часть 1, Гурса Э., 1933.

Фрагмент из книги:
Внутренняя задача Дирихле для пространства ставится так же, как аналогичная задача для плоскости. Если дана замкнутая область D, ограниченная одной или несколькими замкнутыми поверхностями, то задача состоит в том, чтобы найти функцию, гармоническую внутри D и принимающую заданные значения на ограничивающих область поверхностях, причем эти значения образуют непрерывную последовательность на каждой из этих поверхностей. Отсутствие максимума и минимума у гармонической функции доказывает также, что эта задача допускает не более одного решения, а рассуждения Римана для доказательства существования решения встречают те же возражения, что и для случая задачи на плоскости. Читатель легко проведет сам эти рассуждения.




БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Изучение функций, определенных дифференциальным уравнением, во всей области их существования является задачей, полное разрешение которой невозможно при современном состоянии анализа. Однако, ограничившись изучением интегралов, бесконечно близких к уже известному интегралу, удалось получить чрезвычайно интересные результаты. Именно таким путем А. Пуанкаре в своих замечательных работах, посвященных „Задаче о трех телах", доказал существование бесконечного множества периодических решений и решений асимптотических к периодическим. Разыскание решений, бесконечно-близких к известному решению, привело его к системе линейные дифференциальных уравнений, которые он называет уравнениями в вариациях; аналогичная система для уравнений с частными производными была ранее рассмотрена Г. Дарбу под названием вспомогательной системы. Результаты А. Пуанкаре были с тех пор использованы Пенлеве и другими математиками при решении задачи чистого анализа, а именно при образовании дифференциальных уравнений с неподвижными критическими точками.

В этой главе после изучения интегралов системы дифференциальных уравнений, рассматриваемых как функции начальных значений, мы доказываем основную теорему А. Пуанкаре. Это исследование было уже проделано (II, § 387) в случае, когда правые части являются аналитическими функциями. Мы возвращаемся к нему в общем случае, пользуясь методом последовательных приближений Пикара, который требует наименьшего числа предположений и очень просто приводит к цели.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава XXIII. БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.
I. Уравнения в вариациях.
457. Дополнения к теории линейных уравнений.
458. Приложение к полулинейной системе.
459. Интегралы как функции начальных значений.
460. Распространение на уравнения, зависящие от параметров.
461. Бесконечно близкие интегралы.
462. Уравнения в вариациях.
463. Теорема Пуанкаре.
II. Периодические и асимптотические решения. Устойчивость.
464. Периодические решения.
465. Устойчивые и неустойчивые решения.
466. Общие теоремы относительно устойчивости.
467. Приложение общих теорем.
468. Устойчивость равновесия.
469. Приложение к более общим системам.
470. Асимптотические ряды. Условная устойчивость.
Глава XXIV. УРАВНЕНИЕ МОНЖА-АМПЕРА.
1. Характеристики, Промежуточные интегралы.
471. Задача Коши для уравнения второго порядка.
472. Элементы соприкосновения. Многообразия М.
473. Уравнения Монжа-Ампера. Характеристики.
474. Свойства характеристик.
475. Промежуточные интегралы.
476. Различные приложения, примеры.
II Метод Лапласа. Классификация линейных уравнений.
477. Промежуточные интегралы линейного уравнения.
478. Преобразования Лапласа.
479. Три типа линейных уравнений.
480. Изучение задачи Коши в частном случае.
Упражнения.
Глава XXV. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С n ПЕРЕМЕННЫМИ.
I. Классификация уравнений с п переменными.
481. Характеристики уравнений с п переменными.
482. Распространение посредством волны.
483. Общие свойства вполне линейных уравнений.
II. Приложения к некоторым примерам.
484. Уравнение звука.
485. Цилиндрические волны.
486. Распространение теплоты в неограниченной среде.
487. Задача о кольце.
488. Охлаждение сферы.
Глава XXVI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
I. Изучение некоторых задач, относящихся к уравнению s=f(x,у).
489. Определение интеграла по данным Коши.
490. Смешанные задачи.
491. Определение интеграла по его значениям вдоль двух кривых.
492. Прямолинейное движение газа.
493. Колеблющаяся струна
II. Последовательные приближения. Способ Римана.
494. Определение интеграла по его значениям на двух характеристиках
495. Функция Римана.
496. Первое решение задачи Коши.
497. Сопряженное уравнение.
498. Способ Римана.
499. Уравнения с постоянными коэфициентамн.
500. Другие задачи.
III. Уравнения с несколькими переменными.
501. Основная формула.
502. Способ Вольтерра.
Дополнения и упражнения.
Глава XXVII. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
I. Гармонические функции. Интеграл Пуассона.
503. Общие свойства.
504. Равномерно сходящиеся интегралы.
505. Логарифмический потенциал.
506. Вторая формула Грина.
507. Приложения к гармоническим функциям.
508. Интеграл Пуассона.
509. Связь интеграла Пуассона с рядом Фурье.
510. Теорема Гарнака.
511. Аналитическое продолжение гармонической функции.
II. Задача Дирихле. Функция Грина.
512. Доказательство Римана.
513. Способ Неймана.
514. Обобщение задачи.
515. Альтернирующий метод Шварца.
516. Внешняя задача.
517. Конформное отображение.
518. Функция Грина.
519. Свойства функции Грина.
III. Общее уравнение эллиптического типа.
520. Обобщение задачи Дирихле.
521. Исследование уравнения △u=(x, у).
522. Метод Пикара.
523. Функция Грина для общего уравнения эллиптического типа.
521. Смешанные эллиптические задачи.
Дополнения и упражнения.
Глава XXVIII. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ.
I. Задача Дирихле в пространстве.
525. Общие свойства.
526. Ньютонов потенциал простого слоя.
527. Потенциал двойного слоя.
528. Вторая формула Грина.
529. Внутренняя и внешняя задача.
530. Решение задачи для шара.
531. Функции Лапласа.
532. Свойства функций Yn.
533. Метод Неймана.
534. Функция Грина.
II. Ньютонов потенциал.
535. Потенциал объема.
535. Формула Пуассона.
537. Формула Гаусса.
538. Нормальные производные потенциала простого слоя.
539. Ньютонов потенциал двойного слоя.
Дополнения и упражнения.
Глава XXIX. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
540. Общие положения.
541. Аналитические интегралы.
542. Фундаментальное решение.
543. Формула Пуассона.
544. Интегралы, аналогичные потенциалу.
545. Распространение формулы Грина. Приложения.
546. Свойства интегралов.
547. Граничные задачи.
Указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Гурса