Высшая математика, Основы математического анализа, Геворкян П.С., 2004

Высшая математика, Основы математического анализа, Геворкян П.С., 2004.

   Настоящая книга охватывает вопросы, касающиеся основ математического анализа, которые изучаются в рамках курса «Высшая математика» в высших учебных заведениях. Она содержит следующие разделы математического анализа: пределы и непрерывность функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций многих переменных. Приведены некоторые предварительные сведения из теории множеств и введено понятие действительного числа. Рассмотрены основные понятия теории комплексных чисел.
Для студентов инженерно-технических и экономических специальностей вузов, а также для изучающих в том или ином объеме высшую математику.




Множества. Операции над множествами.
Понятие множества является одним из основных понятий математики. Это первичное понятие, которое не нуждается в строгом математическом определении с помощью более простых понятий.

Множество — это совокупность (собрание, семейство, класс и т. д.) каких-либо объектов произвольной природы. Например, можно говорить о множестве студентов данного курса, о множестве всех целых чисел, о множестве всех компьютеров института и т. д.
Объекты, из которых состоит данное множество, называются элементами этого множества.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Оглавление.
Предисловие.
Глава 1. Введение.
§1.1. Множества. Операции над множествами.
§1.2. Действительные числа.
§1.3. Числовые промежутки. Окрестность точки.
Глава 2. Предел последовательности.
§2.1. Понятие предела последовательности.
§2.2. Свойства сходящихся последовательностей.
§2.3. Предельный переход в неравенствах.
§2.4. Арифметические действия с пределами.
§2.5. Монотонные последовательности.
§2.6. Число е.
Глава 3. Функции.
§3.1. Понятие функции и способы ее задания.
§3.2. Арифметические действия над функциями. Сложная и обратная функции.
§3.3. Основные элементарные функции и их графики.
Глава 4. Предел функции.
§4.1. Понятие предела функции.
§4.2. Односторонние пределы.
§4.3. Основные теоремы о пределах функций.
§4.4. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел
§4.5. Монотонные функции. Теорема о пределе монотонной функции.
§4.6. Теоремы о предельных переходах в неравенствах.
§4.7. Первый замечательный предел.
§4.8. Второй замечательный предел.
§4.9. Бесконечно малые функции. Основные свойства.
§4.10. Бесконечно большие функции.
§4.11. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
§4.12. Сравнение бесконечно малых функций.
§4.13. Эквивалентные бесконечно малые функции.
Глава 5. Непрерывность функции.
§5.1. Понятие непрерывности функции.
§5.2. Арифметические операции над непрерывными функциями.
§5.3. Непрерывность сложной функции.
§5.4. Точки разрыва функции и их классификация.
§5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
§6.1. Понятие производной.
§6.2. Геометрическая интерпретация производной. Касательная к графику функции.
§6.3. Физическая интерпретация производной.
§6.4. Необходимое условие существования производной.
§6.5. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
§6.6. Дифференцирование сложной функции.
§6.7. Теорема о существовании обратной функции. Дифференцирование обратной функции.
§6.8. Производные основных элементарных функций.
§6.9. Гиперболические функции и их производные.
§6.10.Таблица производных.
§6.11. Дифференцирование параметрически заданных функций.
§6.12. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.
§6.13. Понятие дифференцируемости функции.
§6.14. Понятие дифференциала функции.
§6.15. Геометрический смысл дифференциала функции.
§6.16. Инвариантность формы первого дифференциала.
§6.17. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного функций.
§6.18. Таблица дифференциалов.
§6.19. Производные высших порядков.
§6.20. Дифференциалы высших порядков.
§6.21. Основные теоремы дифференциального исчисления.
§6.22. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
§6.23. Формула Тейлора.
§6.24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
§6.25. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
§6.26. Условия возрастания и убывания функций.
§6.27. Экстремумы функций.
§6.28. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
§6.29. Направление выпуклости графика функции.
§6.30. Точки перегиба графика функции.
§6.31. Асимптоты графика функции.
§6.32. Общая схема исследования функций и построение графиков.
Глава 7. Комплексные числа.
§7.1. Понятие комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами.
§7.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
§7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
§7.4. Показательная форма комплексного числа.
§7.5. Извлечение корней из комплексных чисел.
Глава 8. Неопределенный интеграл.
§8.1. Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла.
§8.2. Основные свойства неопределенного интеграла.
§8.3. Таблица основных неопределенных интегралов.
§8.4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
§8.5. Метод интегрирования по частям.
§8.6. Алгебраические многочлены.
§8.7. Рациональные функции. Разложение на простейшие дроби.
§8.8. Интегрирование рациональных дробей.
§8.9. Универсальная тригонометрическая подстановка.
§8.10. Вычисление интегралов типа sinm x cosn x dx.
§8.11. Интегрирование выражении с помощью тригонометрических преобразований.
§8.12. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
§8.13. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
§8.14. Интегрирование квадратичных иррациональностей.
Глава 9. Определенный интеграл.
§9.1. Понятие определенного интеграла.
§9.2. Необходимое условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
§9.3. Геометрический смысл определенного интеграла.
§9.4. Основные свойства определенного интеграла.
§9.5. Формула Ньютона-Лейбница.
§9.6. Замена переменной в определенном интеграле.
§9.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
§9.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (несобственный интеграл первого рода).
§9.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Теоремы сравнения.
§9.10. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
§9.11. Несобственный интеграл от неограниченной функции (несобственный интеграл второго рода).
§9.12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.
§9.13. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.
§9.14. Вычисление длины дуги кривой.
§9.15. Вычисление объема тела.
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
§10.1. Понятие функции многих переменных.
§10.2. Открытые множества.
§10.3. Предел функции двух переменных.
§10.4. Непрерывность функции двух переменных.
§10.5. Частные производные.
§10.6. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
§10.7. Дифференцируемые функции.
§10.8. Дифференциал функции. Правила дифференцирования.
§10.9. Дифференциалы высших порядков.
§10.10. Производная сложной функции.
§10.11. Инвариантность формы первого дифференциала.
§10.12. Производная по направлению.
§10.13. Градиент.
§10.14. Формула Тейлора.
§10.15. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции.
§10.16. Касательная плоскость. Нормаль к поверхности.
§10.17. Экстремумы. Необходимое условие экстремума.
§10.18. Достаточное условие экстремума.
§10.19. Условный (относительный) экстремум.
§10.20. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по высшей математике :: высшая математика :: Геворкян