Курс алгебры, Винберг Э.Б., 2001

Курс алгебры, Винберг Э.Б., 2001.

  Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры, читаемого в течение трех семестров на математических факультетах университетов. В нее включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теории конечномерных ассоциативных алгебр, и теории групп Ли. Это позволяет использовать книгу не только как учебник по общему курсу алгебры, но и как пособие для тех. кто желает углубить свои познания в алгебре. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.
Для математиков и физиков — студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.




Поле комплексных чисел.
Подобно тому как невозможность деления в кольце целых чисел приводит к необходимости расширить его до поля рациональных чисел, невозможность извлечения квадратных корней из отрицательных чисел в поле вещественных чисел приводит к необходимости расширить его до большего поля, называемого полем комплексных чисел.

Для того чтобы лучше понять, что такое поле комплексных чисел, нужно прежде подумать над тем, что такое поле вещественных чисел. Строгое построение поля вещественных чисел обычно приводится в курсе анализа. Мы не будем входить в его детали. Однако заметим, что имеется несколько определений вещественных чисел:
как бесконечных десятичных дробей, как сечений Дедекинда множества рациональных чисел и т. д. Формально говоря, при этом получаются различные поля. Какое из них является «настоящим» полем вещественных чисел? Ответ на этот вопрос состоит в том, что все они изоморфны и их следует рассматривать просто как различные модели одного и того же объекта, называемого полем вещественных чисел.

Содержание.
Предисловие.
Предисловие ко второму изданию.
Глава 1. Алгебраические структуры.
§1. Введение.
§2. Абелевы группы.
§3. Кольца и поля.
§4. Подгруппы, подкольца и подполя.
§5. Поле комплексных чисел.
§6. Кольца вычетов.
§7. Векторные пространства.
§8. Алгебры.
§9. Алгебра матриц.
Глава 2. Начала линейной алгебры.
§1. Системы линейных уравнений.
§2. Базис и размерность векторного пространства.
§3. Линейные отображения.
§4. Определители.
§5. Некоторые приложения определителей.
Глава 3. Начала алгебры многочленов.
§1. Построение и основные свойства алгебры многочленов.
§2. Общие свойства корней многочленов.
§3. Основная теорема алгебры комплексных чисел.
§4. Корни многочленов с вещественными коэффициентами.
§5. Теория делимости в евклидовых кольцах.
§6. Многочлены с рациональными коэффициентами.
§7. Многочлены от нескольких переменных.
§8. Симметрические многочлены.
§9. Кубические уравнения.
§10. Поле рациональных дробей.
Глава 4. Начала теории групп.
§1. Определение и примеры.
§2. Группы в геометрии и физике.
§3. Циклические группы.
§4. Системы порождающих.
§5. Разбиение на смежные классы.
§6. Гомоморфизмы.
Глава 5. Векторные пространства.
§1. Взаимное расположение подпространств.
§2. Линейные функции.
§3. Билинейные и квадратичные функции.
§4. Евклидовы пространства.
§5. Эрмитовы пространства.
Глава 6. Линейные операторы.
§1, Матрица линейного оператора.
§2. Собственные векторы.
§3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом пространстве.
§4. Жорданова форма.
§5. Функции от линейного оператора.
Глава 7. Аффинные и проективные пространства.
§1. Аффинные пространства.
§2. Выпуклые множества.
§3. Аффинные преобразования и движения.
§4. Квадрики.
§5. Проективные пространства.
Глава 8. Тензорная алгебра.
§1. Тензорное произведение векторных пространств.
§2. Тензорная алгебра векторного пространства.
§3. Симметрическая алгебра.
§4. Алгебра Грассмана.
Глава 9. Коммутативные кольца.
§1. Абелевы группы.
§2. Идеалы и факторкольца.
§3. Модули над кольцами главных идеалов.
§2. Нётеровы кольца.
§3. Алгебраические расширения.
§4. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические многообразия.
§5. Разложение на простые множители.
Глава 10. Группы.
§1. Прямые и полупрямые произведения.
§2. Коммутант.
§3. Действия.
§4. Теоремы Силова.
§5. Простые группы.
§6. Расширения Галуа.
§7. Основная теорема теории Галуа.
Глава 11. Линейные представления и ассоциативные алгебры.
§1. Инвариантные подпространства.
§2. Полная приводимость линейных представлений.
§3. Конечномерные ассоциативные алгебры.
§4. Линейные представления конечных групп.
§5. Инварианты.
§6. Алгебры с делением.
Глава 12. Группы Ли.
§1. Определение и простейшие свойства групп Ли.
§2. Экспоненциальное отображение.
§3. Касательная алгебра Ли и присоединенное представление.
§4. Линейные представления групп Ли.
Ответы к задачам.
Словарь сокращений.
Список литературы.
Указатель обозначений.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Винберг