Лекции по математике, том 13, Топология, Босс В., 2009

Лекции по математике, Том 13, Топология, Босс В., 2009.

   Рассматриваются непрерывные преобразования геометрических фигур с прицелом на изучение инвариантных свойств. Особое внимание уделяется задачам о неподвижных точках, иначе говоря, о разрешимости систем уравнений. Рассматриваются также основные направления алгебраической топологии в расчете на новичков.
Изложение отличается краткостью и прозрачностью.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.




Узлы.
Узлам исстари придавался глубокий смысл мистического толка. Завязыванием узлов маги и колдуны пытались лечить, калечить и вообще направлять ход истории. А лорд Кельвин составил периодическую таблицу химических элементов, считая атомы вихрями эфира, завязанными в узлы. Интересен также сугубо материалистический аспект в русле завязывания шнурков, шпагата, страховочных фалов космонавтами и парашютистами, буксирных и якорных тросов, ткацких нитей, — каковой присутствует в обиходе тысячи лет. И действовать каждый раз необходимо избирательно, ибо в одном случае нужны незатягивающиеся петли, в другом — затягивающиеся. Не говоря о быстроразвязывающих-ся узлах, декоративных, особых морских узлах для связывания двух тросов, — да всего и не перечислишь.

Топология, конечно, прикладными свойствами веревочных манипуляций не занимается, концентрируясь на классификации. Различия интуитивно очевидны. Простой узел в восьмерку, не протаскивая концы через петлю, трансформировать не удается. Но это ничего не доказывает. Необходима формализация.

Содержание.
Предисловие к «Лекциям».
Предисловие к тринадцатому тому.
Глава 1. Приготовления и авансы в наглядной редакции.
1.1. Предмет топологии.
1.2. Деформационная техника.
1.3. Сферы с ручками.
1.4. Рогатая сфера Александера.
1.5. Лист Мёбиуса.
1.6. Проективная плоскость.
1.7. Ориентация.
1.8. Бутылка Клейна.
1.9. Узлы.
1.10. Многообразия.
1.11. Антуановское множество.
1.12. Замкнутые поверхности.
1.13. Метод инвариантов.
1.14. Графовая структура поверхности.
Глава 2. Неподвижные точки.
2.1. Предварительные соображения.
2.2. Гомотопические переходы.
2.3. Вращение векторного поля.
2.4. Гомотопные векторные поля.
2.5. Скелет теории.
2.6. Разрешимость уравнений.
2.7. Еще раз об ориентации.
2.8. Индексы и алгебраическое число нулей.
2.9. Вращение линейного поля.
2.10. Нечетные поля.
2.11. Собственные векторы.
2.12. Векторные поля на плоскости.
Глава 3. Дополнения и приложения.
3.1. Теорема Брауэра и ее обобщения.
3.2. Глобальная обратимость.
3.3. Технические уловки и фурнитура.
3.4. Строгие определения вращения.
3.5. Зачем нужна общность.
Глава 4. Многозначные отображения.
4.1. Общие сведения.
4.2. О редукции задач.
4.3. Отображения с выпуклыми образами.
4.4. Теоремы о неподвижных точках.
4.5. Теорема о селекторе.
4.6. Отображения с невыпуклыми образами.
Глава 5. Алгебраизация топологии.
5.1. Результаты и рецепты.
5.2. Абстрактная схема.
5.3. Фундаментальная группа.
5.4. Вычисление фундаментальной группы.
5.5. Высшие гомотопические группы.
5.6. Гомотопическая эквивалентность.
5.7. Проблема Пуанкаре.
5.8. Контрпримеры Пуанкаре и Уайтхеда.
Глава 6. Симплициальные гомологии.
6.1. В чем состоит идея.
6.2. Симплициальные комплексы.
6.3. Ориентируемые псевдомногообразия.
6.4. Симплициальные отображения.
6.5. Индуцируемые гомоморфизмы.
6.6. Проблемы вычисления.
Глава 7. Теория гомологий.
7.1. Общая схема.
7.2. CW-комплексы и клеточные гомологии.
7.3. Сингулярные гомологии.
7.4. Степень отображения.
7.5. Числа Бетти и группа кручения.
7.6. Эйлерова характеристика.
7.7. Число Лефшеца.
7.8. Градиентные потоки и теория Морса.
7.9. Относительные гомологии.
7.10. Точные последовательности.
7.11. Когомологии.
7.12. Взаимосвязь гомологий и гомотопий.
Глава 8. Расслоения.
8.1. Суть идеи.
8.2. Формальные определения.
8.3. Расслоения Хопфа.
8.4. Поднятие гомотопии.
8.5. Накрытия.
Глава 9. Аппаратные формальности.
9.1. Истоки непрерывности.
9.2. Топологический подход.
9.3. Фактортопология.
9.4. Непрерывные отображения.
9.5. Карты и атласы.
9.6. Гомотопия векторных полей.
9.7. Гомеоморфизмы.
9.8. Дифференцируемость.
9.9. Гладкие многообразия.
9.10. Теорема Сарда.
9.11. Обратные и неявные функции.
Глава 10. Элементы теории групп.
10.1. Определения и примеры.
10.2. Смежные классы.
10.3. Нормальные делители и фактор-группы.
10.4. Автоморфизмы и гомоморфизмы.
10.5. Порождающие множества.
10.6. Свободные группы.
10.7. Тождества в группах.
10.8. Абелевы группы.
10.9. Конечнопорожденные группы.
10.10. Прямое произведение и прямая сумма.
10.11. Циклическая природа абелевых групп.
Глава 11. Избранные фрагменты.
Сокращения и обозначения.
Литература.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Босс