Асимптотические методы в анализе, Ильин A.M., Данилин А.Р., 2009

Асимптотические методы в анализе, Ильин A.M., Данилин А.Р., 2009.

  В монографии систематически излагаются основные понятия и методы асимптотического анализа, как классические, так и разработанные в последнее время. Книга будет полезна студентам и аспирантам математических и технических специальностей, а также исследователям, столкнувшимся с асимптотическими проблемами.



Асимптотика интеграла, зависящего от произведения разномасштабных функций.
В этом параграфе будет рассмотрена асимптотика интегралов от функций, зависящих от малого параметра е. Такая задача тесно связана с другими задачами, зависящими от малого параметра. Наибольший интерес представляет, конечно, сингулярный случай, т.е. тот случай, при котором для е = 0 интеграл расходится. Часто возникает необходимость исследовать асимптотику функции, заданной интегралом от произведения двух функций с разномасштабными (относительно интересующей переменной) аргументами. Ниже разные методики вычисления асимптотики таких интегралов будут продемонстрированы на трех различных примерах.

Оглавление
Введение
Глава 1. Асимптотические ряды
§1. Пример вычисления интеграла
§2. Асимптотические ряды. Определение
§3. Свойства асимптотических рядов
Глава 2. Применение асимптотического метода для вычисления сумм и рядов
§4. Вывод формулы Эйлера
§5. Вспомогательные оценки
§6. Асимптотика частичной суммы гармонического ряда
§7. О вычислении суммы ряда S = 1/kln2k
Глава 3. Метод Лапласа
§8. Предварительное исследование интеграла Лапласа
§9. Максимум показателя h(t) достигается на границе
§10. Максимум показателя h(t) достигается во внутренней точке. Асимптотика интеграла F(λ) в частном случае
§11. Максимум показателя h(t) достигается во внутренней точке. Общий случай
§12. Асимптотика гамма-функции Эйлера
Глава 4. Метод стационарной фазы
§13. Асимптотика интеграла при отсутствии стационарных точек
§14. Асимптотика интеграла в частном случае
§15. Асимптотика интеграла в случае одной стационарной точки
§16. Асимптотика интеграла в общем случае
§17. Асимптотика функции Бесселя
Глава 5. Метод перевала
§18. Предварительное исследование интеграла
§19. Построение асимптотики интеграла методом перевала
§20. Асимптотика функции Эйри
Глава 6. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка на бесконечности
§21. Постановка задачи
§22. Ограниченные колеблющиеся решения
§23. Уравнения с экспоненциально растущими и с экспоненциально быстро стремящимися к нулю решениями
§24. Общее линейное уравнение второго порядка. Преобразования Лиувилля. Примеры
§25. Метод ВКБ
Глава 7. Сингулярные задачи
§26. Сингулярные краевые задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Постановка задачи. Оценка решения
§27. Построение и обоснование асимптотического ряда решения сингулярной краевой задачи
§28. Простейшая бисингулярная задача
§29. Процесс согласования асимптотических разложений
§30. Асимптотика интеграла, зависящего от произведения разномасштабных функций
Глава 8. Начальная задача для дифференциального уравнения с малым параметром при производной
§31. Постановка задачи. Построение формальной асимптотики
§32. Обоснование асимптотического разложения. Система уравнений
§33. Промежуточный пограничный слой
Глава 9. Метод двух масштабов для дифференциального уравнения с малым параметром
§34. Постановка задачи. Построение формальной асимптотики
§35. Обоснование асимптотического разложения. Уравнение Ван лер Поля
Глава 10. Дифференциальные уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами
§36. Постановка задачи. Построение предельного решения
§37. Построение формальной асимптотики
§38. Существование и единственность решения. Оценка решения. Обоснование асимптотики
Задачи и упражнения
Список литературы.

Купить книгу Асимптотические методы в анализе, Ильин A.M., Данилин А.Р., 2009 .





Теги: учебник по математике :: математика :: Ильин :: Данилин