Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Беклемишев Д.В., 2020

Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Беклемишев Д.В., 2020.
 
   В учебнике изложен основной материал, входящий в объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры: векторная алгебра, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффинные преобразования, матричная алгебра и системы линейных уравнений, линейные пространства, евклидовы и унитарные пространства, аффинные пространства, тензорная алгебра.
Учебник предназначен для студентов, изучающих курсы математики в классических университетах, а также технических вузах.




ВЕКТОРЫ.
Предварительные замечания. Первые главы этой книги можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Известно, что каждая математическая дисциплина основывается на некоторой системе недоказываемых предложений, называемых аксиомами. Полный перечень аксиом геометрии, также как и обсуждение роли аксиом в математике, можно найти в книге Н. В. Ефимова [5]. (Цифры в квадратных скобках означают ссылки на список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.)

Мы не ставим себе целью изложение логических основ предмета и потому просто опираемся на теоремы, доказываемые в курсе элементарной геометрии. Равным образом, мы не пытаемся дать определение основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости. Читатель, интересующийся их строгим введением, может обратиться к той же книге Н. В. Ефимова, мы же просто будем считать, что эти и другие введенные в школе понятия известны читателю.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
ГЛАВА I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
§ 1. Векторы.
1. Предварительные замечания (5). 2. Определение вектора (6). 3. О другом определении вектора (6). 4. Линейные операции (8). 5. Векторные пространства (10). 6. Линейная зависимость векторов (10). 7. Базис (14).
§ 2. Системы координат.
1. Декартова система координат (16). 2. Деление отрезка в заданном отношении (18). 3. Декартова прямоугольная система координат (19). 4. Полярная система координат (20). 5. Цилиндрические и сферические координаты (21).
§ 3. Замена базиса и системы координат.
1. Изменение базиса (23). 2. Изменение системы координат (24). 3. Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости (24).
§ 4. Скалярное произведение.
1. Определение (26). 2. Свойства скалярного умножения (27). 3. Биортогональный базис (29). 4. Проекции (31).
§ 5. Смешанное и векторное произведения.
1. Ориентация прямой, плоскости и пространства (33). 2. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда (35). 3. Смешанное произведение (36). 4. Векторное произведение (39). 5. Выражение векторного и смешанного произведений через компоненты сомножителей (42). 6. Детерминанты второго и третьего порядков (43). 7. Условия коллинеарности и компланарности (45). 8. Системы линейных уравнений (46). 9. Площадь параллелограмма (48). 10. Двойное векторное произведение (49). 11. О векторных величинах (49).
ГЛАВА II. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ.
§ 1. Общее понятие об уравнениях.
1.Определения (52). 2. Алгебраические линии и поверхности (55). 3. Уравнения, не содержащие одной из координат (59). 4. Однородные уравнения. Конусы (60).
§ 2. Уравнения прямых и плоскостей.
1. Поверхности и линии первого порядка (61). 2. Параметрические уравнения прямой и плоскости (62). 3. Прямая линия на плоскости (64). 4. Векторные уравнения плоскости и прямой (66). 5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости (69). 6. Уравнения прямой в пространстве (72).
§ 3. Основные задачи о прямых и плоскостях.
1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (75). 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (76). 3. Параллельность прямой и плоскости (76). 4. Полупространство (77). 5. Расстояние от точки до плоскости (79). 6. Расстояние от точки до прямой (79). 7. Расстояние между скрещивающимися прямыми (80). 8. Вычисление углов (81). 9. Некоторые задачи на построение (82). 10. Пучок прямых (84). 11. О геометрическом смысле порядка алгебраической линии (86).
ГЛАВА III. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
§ 1. Исследование уравнения второго порядка.
§ 2. Эллипс, гипербола и парабола.
1. Эллипс (96). 2. Гипербола (101). 3. Парабола (105).
§ 3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением.
1. Пересечение линии второго порядка и прямой (109). 2. Тип линии (111). 3. Диаметр линии второго порядка (112). 4.Центр линии второго порядка (116). 5. Сопряженные направления (117). 6. Главные направления (117). 7. Касательная к линии второго порядка (118). 8. Особые точки (119).
§ 4. Поверхности второго порядка.
1. Поверхности вращения (122). 2. Эллипсоид (123). 3. Конус второго порядка (124). 4. Однополостный гиперболоид (125). 5. Двуполостный гиперболоид (127). 6. Эллиптический параболоид (128). 7. Гиперболический параболоид (128).
ГЛАВА IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ.
§ 1. Отображения и преобразования.
1. Определение (133). 2. Примеры (133). 3. Произведение отображений (135). 4. Координатная запись отображений (137).
§ 2. Линейные преобразования.
1. Ортогональные преобразования (139). 2. Определение линейных преобразований (141). 3. Произведение линейных преобразований (143). 4. Образ вектора при линейном преобразовании (144).
§ 3. Аффинные преобразования.
1. Образ прямой линии (149). 2. Изменение площадей при аффинном преобразовании (150). 3. Образы линий второго порядка (152). 4. Разложение ортогонального преобразования (154). 5. Разложение аффинного преобразования (156).
ГЛАВА V. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§ 1. Матрицы.
1. Определение (159). 2. Транспонирование матриц (161). 3. Некоторые виды матриц (161). 4. Сложение и умножение на число (162). 5. Линейная зависимость матриц (164).
§ 2. Умножение матриц.
1. Символ Σ (167). 2. Определение и примеры (168). 3. Свойства умножения матриц (172). 4. Элементарные преобразования. Элементарные матрицы (175). 5. Вырожденные и невырожденные матрицы (178). 6. Обратная матрица (181).
§ 3. Ранг матрицы.
1. Определение (185). 2. Основные теоремы (186). 3. Ранг произведения (188). 4. Нахождение ранга матрицы (189).
§ 4. Детерминанты.
1. Определение детерминанта (192). 2. Единственность детерминанта (196). 3. Существование детерминанта. Разложение по столбцу (198). 4. Свойства детерминантов (200). 5. Детерминант клеточно треугольной матрицы (202). 6. Формула полного разложения (203).
§ 5. Системы линейных уравнений (основной случай).
1. Постановка задачи (207). 2. Основной случай (209). 3. Правило Крамера (210). 4. Формулы для элементов обратной матрицы (211).
§ 6. Системы линейных уравнений (общая теория).
1. Условия совместности (212). 2. Нахождение решений (214). 3. Приведенная система (216). 4. Общее решение системы линейных уравнений (219). 5. Пример (220).
ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные понятия.
1. Определение линейного пространства (223). 2. Простейшие следствия (226). 3. Линейная зависимость (227). 4. Базис (228). 5. Замена базиса (231). 6. Ориентация пространства (233).
§ 2. Линейные подпространства.
1. Определения и примеры (235). 2. Сумма и пересечение подпространств (237).
§ 3. Линейные отображения.
1. Определение (242). 2. Координатная запись отображений (245). 3. Изоморфизм линейных пространств (248). 4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов (249). 5. Канонический вид матрицы линейного отображения (249). 6. Сумма и произведение отображений (250).
§ 4. Задача о собственных векторах.
1. Линейные преобразования (253). 2. Умножение преобразований (254). 3. Инвариантные подпространства (255). 4. Собственные подпространства (258). 5. Характеристическое уравнение (260). 6. Свойства собственных подпространств (263). 7. Комплексные характеристические числа (264). 8. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду (265). 9. Приведение матрицы преобразования к треугольному виду (268). 10. Теорема Гамильтона–Кэли (270).
§ 5. Линейные функции.
1. Определение функции (272). 2. Линейные функции (273). 3. Сопряженное пространство (275).
§ 6. Квадратичные формы.
1. Билинейные функции (279). 2. Квадратичные формы (281). 3. Ранг и индекс квадратичной формы (286). 4. Полуторалинейные функции (291).
§ 7. Теорема Жордана.
1. Корневые подпространства (294). 2. Циклические подпространства (297). 3. Строение корневого подпространства (300). 4. Теорема Жордана (302). 5. Приведение к жордановой форме (304).
ГЛАВА VII. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
§ 1. Евклидовы пространства.
1. Скалярное произведение (308). 2. Длина и угол (310). 3. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей (311). 4. Ортогональные базисы (313). 5. Ортогональные матрицы (314). 6. Ортогональное дополнение подпространства (315). 7. Ортогональные проекции (316). 8. Метод ортогонализации (318). 9. QR-разложение (319). 10. Объем параллелепипеда (320).
§ 2. Линейные преобразования евклидовых пространств.
1. Преобразование, сопряженное данному (323). 2. Самосопряженные преобразования (326). 3. Изоморфизм евклидовых пространств (329). 4. Ортогональные преобразования (330). 5. Сингулярное разложение (334). 6. Полярное разложение (337). 7. Сингулярные числа линейного преобразования (338).
§ 3. Функции на евклидовых пространствах.
1. Линейные функции (341). 2. Преобразование, присоединенное билинейной функции (342). 3. Ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид (344).
§ 4. Понятие об унитарных пространствах.
1. Определение (347). 2. Свойства унитарных пространств (350). 3. Самосопряженные и унитарные преобразования (352). 4. Эрмитовы формы в унитарном пространстве (353).
ГЛАВА VIII. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
§ 1. Плоскости.
1. Аффинное пространство (355). 2. Плоскости в аффинном пространстве (358).
§ 2. Классификация линий и поверхностей второго порядка.
1. Закон преобразования коэффициентов (360). 2. Линии второго порядка на плоскости (363). 3. Ортогональные инварианты (365). 4. Поверхности второго порядка (367).
ГЛАВА IX. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§ 1. Тензоры в линейном пространстве.
1. Вводные замечания (375). 2. Обозначения (376). 3. Определение и примеры (378). 4. Линейные операции (382). 5. Умножение тензоров (384). 6. Свертывание (386). 7. Транспонирование (387). 8. Симметрирование и альтернирование (389). 9. Замечание (391). 10. Симметричные и антисимметричные тензоры (392).
§ 2. Тензоры в евклидовом пространстве.
1. Метрический тензор (395). 2. Поднятие и опускание индексов (395). 3. Евклидовы тензоры (397).
§ 3. Поливекторы. Внешние формы.
1. p-векторы (400). 2. Базис в пространстве p-векторов (404). 3. Внешнее умножение (406). 4. Внешние формы (409). 5. Относительные инварианты (411).
Указания и ответы к упражнениям.
Общие замечания (414). Указания (416). Ответы (421).
Рекомендуемая литература.
Предметный указатель.

Купить .

Купить - rtf .

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Беклемишев