Тысяча задач Международного математического Турнира городов, Толпыго А.К., 2010

Тысяча задач Международного математического Турнира городов, Толпыго А.К., 2010.

   Турнир городов — крупнейшее математическое соревнование школьников, проводящееся вот уже 30 лет. Его уникальность в том, что он доступен школьникам всего мира. Трудность задач самая разнообразная — от совсем легких до исключительно трудных, которые иной раз удавалось решить только 1-2 участникам.
В настоящей книге представлены все задачи 30 турниров с краткими указаниями. Автор — один из «отцов-основателей» Турнира и его бессменный организатор на протяжении всех этих лет.
Первое издание книги вышло в 2009 г.




Примеры.
На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить или убрать красную точку и поменять цвета ее соседей. Менее двух точек оставлять не разрешается. Пусть первоначально было всего две красные точки. Докажите, что за несколько разрешенных операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD (площади S). Каждая его сторона разбита на K равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, так соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая — со второй, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось K2 маленьких четырехугольников, которые образуют, условно говоря, K «строк» и K «столбцов». Из них выбрано K четырехугольников так, чтобы в каждой «строке» и в каждом «столбце» было выбрано по одному. Докажите, что сумма площадей выбранных четырехугольников равна S/K.

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдется такая, площадь которой не меньше 0,01.

Оглавление.
Предисловие.
I. Турнир городов (Олимпиада трех городов, 1980). Указания и решения (233).
II. Турнир городов (1981). Указания и решения (235).
III. Турнир городов (1982). Указания и решения (237).
IV. Турнир городов (1982/83).
Осень, 1982 год (25). Весна. 1983 год (26). Указания и решения (240).
V. Турнир городов (1983/84).
Осень, 1983 год (30). Весна. 1984 год (31). Указания и решения (246).
VI. Турнир городов (1984/85).
Осень, 1984 год (35). Весна. 1985 год (37). Указания и решения (253).
VII. Турнир городов (1985/86).
Осень, 1985 год (41). Весна, 1986 год (44). Указания и решения (260).
VIII. Турнир городов (1986/87).
Осень, 1986 год (47). Весна, 1987 год (49). Указания и решения (265).
IX. Турнир городов (1987/88).
Осень, 1987 год (52). Весна, 1988 год (54). Указания и решения (272).
X. Турнир городов (1988/89).
Осень, 1988 год (59). Весна, 1989 год (62). Указания и решения (281).
XI. Турнир городов (1989/90).
Осень, 1989 год (66). Весна, 1990 год (69). Указания и решения (290).
XII. Турнир городов (1990/1991).
Осень, 1990 год (74). Весна, 1991 год (77). Указания и решения (299).
XIII. Турнир городов (1991/92).
Осень, 1991 год (31). Весна, 1992 год (84). Указания и решения (309).
XIV. Турнир городов (1992/93).
Осень, 1992 год (89). Весна, 1993 год (92). Указания и решения (318).
XV. Турнир городов (1993/94).
Осень, 1993 год (97). Весна, 1994 год (100). Указания и решения (329).
XVI. Турнир городов (1994/95).
Осень, 1994 год (105). Весна, 1995 год (108). Указания и решения (339).
XVII. Турнир городов (1995/96)..
Осень, 1995 год (112). Весна, 1996 год (116). Указания и решения (351).
XVIII. Турнир городов (1996/97).
Осень, 1996 год {120). Весна, 1997 год (123). Указания и решения (361).
XIX. Турнир городов (1997/98).
Осень, 1997 год (128). Весна, 1998 год (131). Указания и решения (371).
XX. Турнир городов (1998/99).
Осень, 1998 год (137). Весна, 1999 год (141). Указания и решения (381).
XXI. Турнир городов (1999/2000).
Осень, 1999 год (146). Весна, 2000 год (150). Указания и решения (392).
XXII. Турнир городов (2000/01).
Осень, 2000 год (154). Весна, 2001 год (157). Указания и решения (402).
XXIII. Турнир городов (2001/02).
Осень, 2001 год {163). Весна, 2002 год (167). Указания и решения {415).
XXIV. Турнир городов (2002/03).
Осень, 2002 год (172). Весна, 2003 год (176). Указания и решения (427).
XXV. Турнир городов (2003/04).
Осень, 2003 год (180). Весна, 2004 год (133). Указания и решения (437).
XXVI. Турнир городов (2004/05).
Осень, 2004 год (188). Весна, 2005 год (1.92). Указания и решения (446).
XXVII. Турнир городов (2005/06).
Осень, 2005 год (197). Весна, 2006 год (200). Указания и решения (454).
XXVIII. Турнир городов (2006/07).
Осень, 2006 год (204). Весна, 2007 год (208). Указания и решения (462).
XXIX. Турнир городов (2007/08).
Осень, 2007 год (213). Весна, 2008 год (217). Указания и решения (473).
XXX. Турнир городов (2008/09).
Осень, 2008 год (222). Весна, 2009 год (226). Указания и решения (481).

Купить





Теги: задачник по математике :: математика :: Толпыго