Как получать надежные решения систем уравнений, Петров Ю.П., 2012

Проблемы "Математики-2".
На совсем простом примере, рассмотренном в § 1, сразу видно, что расчеты и исследование поведения тех или иных объектов при неизменных параметрах и те же расчеты, но с учетом неизбежных на практике вариаций этих параметров, — задачи совершенно разной степени сложности и требуют — как мы увидим далее — существенно различных методов исследования.

Поэтому полезно выделить две математики: "Математику-1", ведущую исследование математических моделей реальных объектов и систем при известных и заданных значениях коэффициентов или при известных законах их изменения, и "Математику-2", не предполагающую точного знания коэффициентов и параметров, учитывающую вариации коэффициентов, законов их изменения и т. п., т. е. учитывающую вариации, которые на практике всегда неизбежны.

Оглавление
Предисловие
§1. Примеры расчета
§2. Исследование зависимости решений от параметров
§3. Проблемы "Математики-2"
§4. Вычисление решений через обратные матрицы; "числа обусловленности" решений
§5. Некорректные и плохо обусловленные задачи в "Математике-1" и в "Математике-2"
§6. Достоинства и недостатки оценки погрешности по "числу обусловленности"
§7. Новые результаты в проблеме оценок по "числам обусловленности"
1. Зависимость "числа обусловленности" от эквивалентных преобразований уравнений
2. Ложная зависимость "числа обусловленности" от масштабов измерения коэффициентов уравнений
3. Ошибочные суждения о влиянии параметров системы на обусловленность решений
§8. Вычисление погрешности решений при вариациях правой части
§9. Выделение "очень плохо обусловленных систем" с использованием "модульных определителей"
§10. Оценка погрешности решений через "модульные определители"
§11. Недостатки и достоинства методики оценки погрешностей решений через "модульные определители"
§12. Возможности улучшения оценок нормы погрешности по "числу обусловленности"
§13. Точная оценка изменения решений при вариациях коэффициентов системы уравнений
§14. Результаты численного эксперимента
§15. Рассмотрение расчета одной из конструкций
§16. Обоснование построения "таблиц знаков" и точной оценки вариаций определителей
§17. Рассмотрение особых частных случаев
§18. Вычисление точных значений вариаций каждой из составляющих вектора решений
§19. Общий алгоритм точной оценки погрешностей каждой из составляющих вектора решений
§20. Использование оценок вариаций при вычислении решений обыкновенных дифференциальных уравнений
§21. Применения к решению интегральных уравнений
§22. Применения к решению дифференциальных уравнений в частных производных
§23. Примеры аварий и катастроф. Анализ их причин
§24. Краткий обзор методов и результатов "Математики-2"
§25. Дополнительные пояснения и примеры
§26. Заключение
Литература.

Купить книгу Как получать надежные решения систем уравнений, Петров Ю.П., 2012 .