Современные проблемы математики, Математические аспекты классической и небесной механики, том 3, Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., 1989

Краткий обзор различных подходов к интегрируемости гамильтоновых систем.
Дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Гамильтона, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. «Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес». В этом параграфе мы дадим краткий перечень различных подходов к интегрируемости гамильтоновых систем, «не забывая при этом указания Пуанкаре, что система дифференциальных уравнений может быть лишь в большей или меньшей степени интегрируемой».

Квадратуры. Интегрирование в квадратурах системы дифференциальных уравнений в Rn — это отыскание ее решений с помощью конечного числа «алгебраических» операций (включая обращение функций) и «квадратур» — вычисления интегралов известных функций. Следующее утверждение связывает интегрирование гамильтоновой системы в квадратурах с существованием достаточно большого набора ее первых интегралов.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Глава 1. Основные принципы классической механики
§1. Ньютонова механика
1.1. Пространство, время, движение
1.2. Принцип детерминированности Ньютона — Лапласа
1.3. Принцип относительности
1.4. Основные динамические величины. Законы сохранения
§2. Лагранжева механика
2.1. Предварительные замечания
2 2. Вариации и экстремали
2.3. Уравнения Лагранжа
24. Уравнения Пуанкаре
2.5. Движение со связями
§3. Гамильтонова механика
3.1. Симплектическая структура и уравнения Гамильтона
3.2. Производящие функции
3.3. Симплектическая структура кокасательного расслоения
3.4. Задача n точечных вихрей
3.5. Действие в фазовом пространстве
3.6. Интегральные инварианты
3.7. Приложение к динамике идеальной жидкости
3.8. Принцип стационарности укороченного действия
§4. Вакономная механика
4.1. Задача Лагранжа
4.2. Вакономная механика
4.3. Принцип детерминированности
4.4. Уравнения Гамильтона в избыточных координатах
§5. Гамильтонов формализм со связями
5.1. Задача Дирака
5.2. Двойственность
§6. Реализация связей
6.1. Различные способы реализации связей
6.2. Голономные связи
6.3. Анизотропное трение
6.4. Присоединенные массы
6.5. Присоединенные массы и анизотропное трение
6.6. Малые массы
Глава 2. Задача n тел
§1. Задача двух тел
1.1. Орбиты
1.2. Аномалии
1.3. Столкновения и регуляризация
1.4. Геометрия задачи Кеплера
$ 2. Столкновения и регуляризация
2.1. Необходимое условие устойчивости
2.2. Одновременные столкновения
2.3. Парные столкновения
2.4. Особенности решений задачи n тел
§3. Частные решения
3.1. Центральные конфигурации
3.2. Томографические решения
3.3. Приведенный потенциал и относительные равновесия
§4. Финальные движения в задаче трех тел
4.1. Классификация финальных движений по Шази
4.2. Симметрия прошлого и будущего
§5. Ограниченная задача трех тел
5.1. Уравнения движения. Интеграл Якоби
5.2 Относительные равновесия и области Хилла
5.3. Задача Хилла
§6. Эргодические теоремы небесной механики
6.1. Устойчивость по Пуассону
6.2. Вероятность захвата
Глава 3. Группы симметрий и понижение порядка
§1. Симметрии и линейные интегралы
1.1. Теорема Нётер
1.2. Симметрии в неголономной механике
1.3. Симметрии в вакономной механике
1.4. Симметрии в гамильтоновой механике
§2. Приведение систем с симметриями
2.1. Понижение порядка (лагранжев аспект)
2.2. Понижение порядка (гамильтонов аспект)
2.3. Примеры: свободное вращение твердого тела и задача трех тел
§3. Относительные равновесия и бифуркации интегральных многообразий
3.1. Относительные равновесия и приведенный потенциал
3.2. Интегральные многообразия, области возможности движения и бифуркационные множества
3.3 Бифуркационное множество в плоской задаче трех тел
3.4. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой
Глава 4. Интегрируемые системы и методы интегрирования
§1. Краткий обзор различных подходов к интегрируемости гамильтоновых систем
1.1. Квадратуры
1.2. Полная интегрируемость
1.3. Нормальные формы ’
§2. Вполне интегрируемые системы
2.1. Переменные действие — угол
2.2. Некоммутативные наборы интегралов
2.3. Примеры вполне интегрируемых систем
§3 Некоторые методы интегрирования гамильтоновых систем
3.1. Метод разделения переменных
3.2. Метод L — А пары
§4 Интегрируемые неголономные системы
4.1. Дифференциальные уравнения с инвариантной мерой
4.2. Некоторые решенные задачи неголономной механики
Глава 5. Теория возмущений интегрируемых систем
§1. Усреднение возмущений
1.1. Принцип усреднения
1.2. Процедура исключения быстрых переменных. Нерезонансный случай
1.3. Процедура исключения быстрых переменных. Резонансный случай
1.4. Усреднение о одночастотных системах
1.5. Усреднение в системах с постоянными частотами
1.6. Усреднение в нерезонансной области
1.7. Влияние отдельного резонанса
1.8. Усреднение в двухчастотных системах
1.9. Усреднение в многочастотных системах
§2. Усреднение в гамильтоновых системах
2.1. Применение принципа усреднения
2.2. Процедуры исключения быстрых переменных
§3. Теория КАМ
3.1. Невозмущенное движение. Условия невырожденности
3.2. Инвариантные торы возмущенной системы
3.3. Системы с двумя степенями свободы
3.4. Диффузия медленных переменных в многомерных системах и сеэкспоненциальная оценка
3.5. Разные варианты теоремы об инвариантных торах
3.6. Вариационный принцип для инвариантных торов. Канторо-торы
3.7 Приложения теории КАМ
§4. Адиабатические инварианты
4.1. Адиабатическая инвариантность переменной "действие" в одночастотных системах
4.2. Адиабатические инварианты многочастотных гамильтоновых систем
4.3. Процедура исключения быстрых переменных. Время сохранения адиабатического инварианта
4.4. Точность сохранения адиабатического инварианта
4.5. Вечное сохранение адиабатических инвариантов
Глава 6. Неинтегрируемые системы
§1. Гамильтоновы системы, мало отличающиеся от интегрируемых
1.1. Метод Пуанкаре
1.2. Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости
1.3. Приложения метода Пуанкаре
§2. Расщепление асимптотических поверхностей
2.1. Условия расщепления
2.2. Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к интегрируемости ‘
2.3. Некоторые приложения
§3. Квазислучайные колебания
3.1. Отображение последования
3.2. Символическая динамика
3.3 Отсутствие аналитических интегралов
§4. Неинтегрируемость в окрестности положения равновесия (метод К Зигеля)
§5. Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов
5.1. Ветвление решений — препятствие к интегрируемости
5.2. Группы монодромии гамильтоновых систем с однозначными интегралами
§6 Топологические и геометрические препятствия к полной интегрируемости натуральных систем с двумя степенями свободы
6.1. Топология пространства положений интегрируемой системы 6 2. Геометрические препятствия к интегрируемости
Глава 7. Теория малых колебаний
§1. Линеаризация
§2. Нормальные формы линейных колебаний
2.1. Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы
2.2. Теоремы Релея — Фишера — Куранта о поведении собственных частот при увеличении жесткости и наложении связи
2.3. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов
§3. Нормальные формы гамильтоновых систем около равновесия
3.1. Пр введение к нормальной форме
3.2. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы в окрестности равновесия при резонансе
3.3. Устойчивость равновесий гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах
§4. Нормальные формы гамильтоновых систем около замкнутых траекторий
4.1. Сведение к равновесию системы с периодическими коэффициентами
4.2. Приведение системы с периодическими коэффициентами к нормальной форме
4.3. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе
§5. Устойчивость равновесия в потенциальном поле
Комментарии к списку литературы
Рекомендуемая литература
Литература
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Современные проблемы математики, Математические аспекты классической и небесной механики, том 3, Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., 1989 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать книгу Современные проблемы математики, Математические аспекты классической и небесной механики, Том 3, Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., 1989 - djvu - depositfiles.

Скачать книгу Современные проблемы математики, Математические аспекты классической и небесной механики, Том 3, Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., 1989 - djvu - Яндекс.Диск.