Курс теории вероятностей и математической статистики - Севастьянов Б.А.

Название: Курс теории вероятностей и математической статистики. 1982.

Автор: Севастьянов Б.А.

    В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на отделении математики механико-математического факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений об интегрировании по Лебегу.
    В книге содержатся следующие разделы: независимые испытания и цепи Маркова, предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и производящие функции, закон больших чисел, центральная предельная теорема, основные понятия математической статистики, проверка статистических гипотез, статистические оценки, доверительные интервалы.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. 7
Глава 1. Вероятностное пространство. 9
§ 1. Предмет теории вероятностей. 9
§ 2. События. 12
§ 3. Вероятностное пространство. 16
§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности 19
§ 5 Геометрические вероятности. 23
Задачи. 24
Глава 2. Условные вероятности. Независимость. 26
§ 6. Условные вероятности. 26
§ 7. Формула полной вероятности. 28
§ 8. Формулы Байеса. 29
§ 9. Независимость событий. 30
§ 10. Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр. 33
§ 11. Независимые испытания. 35
Задачи. 39
Глава 3. Случайные величины (конечная схема). 41
§ 12. Случайные величины. Индикаторы 41
§ 13. Математическое ожидание. 45
§ 14. Многомерные законы распределения. 50
§ 15. Независимость случайных величин. 53
§ 10. Евклидово пространство случайных величин. 55
§ 17. Условные математические ожидания. 59
§ 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. 61
Задачи. 64
Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли. 65
§ 19. Биномиальное распределение. 65
§ 20. Теорема Пуассона. 66
§ 21. Локальная предельная теорема Муавра - Лапласа. 70
§ 22. Интегральная предельная теорема Муавра - Лапласа. 71
§ 23. Применения предельных теорем. 73
Задачи. 76
Глава 5. Цепи Маркова. 77
§ 24. Марковская зависимость испытании. 77
§ 25. Переходные вероятности. 78
§ 26. Теорема о предельных вероятностях. 80
Задачи. 83
Глава 6. Случайные величины (общий случай). 84
§ 27. Случайные величины и их распределения. 84
§ 28. Многомерные распределения. 92
§ 29. Независимость случайных величин. 96
Задачи. 98
Глава 7. Математическое ожидание. 100
§ 30. Определение математического ожидания. 100
§ 31. Формулы для вычисления математического ожидания. 108
Задачи 115
Глава 8. Производящие функции. 117
§ 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции. 117
§ 33. Факториальные моменты. 118
§ 34. Мультипликативное свойство. 120
§ 35. Теорема непрерывности. 123
§ 36. Ветвящиеся процессы. 125
Задачи. 127
Глава 9. Характеристические функции. 129
§ 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций. 129
§ 38. Формулы обращения для характеристических функций. 136
§ 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения. 140
Задачи. 145
Глава 10. Центральная предельная теорема. 146
§ 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых 146
§ 41. Теорема Ляпунова. 147
§ 42. Применения центральной предельной теоремы. 150
Задачи. 153
Глава 11. Многомерные характеристические функции.154
§ 43. Определение и простейшие свойства 154
§ 44. Формула обращения. 158
§ 45. Предельные теоремы для характеристических функций. 159
§ 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения. 164
Задачи. 173
Глава 12. Усиленный закон больших чисел. 174
§ 47. Лемма Бореля - Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова. 174
§ 48 Различные виды сходимости случайных величин. 177
§ 49. Усиленный закон больших чисел. 181
Задачи. 188
Глава 13. Статистические данные. 189
§ 50. Основные задачи математической статистики. 189
§ 51. Выборочный метод. 190
Задачи. 194
Глава 14. Статистические критерии. 195
§ 52. Статистические гипотезы. 195
§ 53. Уровень значимости и мощность критерия. 197
§ 54. Оптимальный критерий Неймана - Пирсона. 199
§ 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений. 201
§ 56. Критерии для проверки сложных гипотез. 204
§ 57. Непараметрические критерии. 206
Задачи. 211
Глава 15. Оценки параметров. 213
§ 58. Статистические оценки и их свойства. 213
§ 59. Условные законы распределения. 216
§ 60. Достаточные статистики. 220
§ 61. Эффективность оценок. 223
§ 62. Методы нахождения оценок. 228
Задачи. 232
Глава 16. Доверительные интервалы. 234
§ 63. Определение доверительных интервалов. 234
§ 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. 236
§ 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли. 240
Задачи. 244
Ответы к задачам. 245
Таблицы нормального распределения. 251
Литература. 253
Предметный указатель.


Вероятностное пространство.
Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятности, используется в тех случаях, когда элементарные события обладают свойством «симметрии» в том смысле, что все элементарные события находятся в одинаковом отношении к тем условиям, которые определяют характер испытания. Например, бросание игральной кости или монеты обладает свойством «симметрии» по отношению к выпадению того или иного числа очков на кости или той или иной стороны монеты, если, конечно, при броске они были достаточно высоко от горизонтальной поверхности и им было придано в начале броска вращательное движение (но не вокруг оси симметрии).

Таким же свойством симметрии обладают правильно организованная жеребьевка и тираж лотереи.
При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика. Мы часто будем использовать комбинаторные понятия размещения, перестановки и сочетания.

Купить.





Теги: книга по математике :: теория вероятности :: учебник :: Севастьянов