Линейная алгебра - Канатников А.Н. Крищенко А.П.

Название: Линейная алгебра. 2002.

Автор: Канатников А.Н. Крищенко А.П.

    Книга является четвертым выпуском серии "Математика в техническом университете" и содержит изложение базового курса по линейной алгебре. Дополнительно включены основные понятия тензорной алгебры и итерационные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Материал изложен в объеме, необходимом для подготовки студента технического университета.

    Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. 5
Основные обозначения. 10
Введение. 12
1. Линейные пространства. 15
1.1. Определение линейного пространства. 15
1.2. Свойства линейного пространства. 20
1.3. Линейная зависимость. 23
1.4. Свойства систем векторов. 26
1.5. Базис линейного пространства. 29
1.6. Линейные операции в координатной форме. 33
1.7. Размерность линейного пространства. 38
1.8. Преобразование координат вектора при замене базиса. 42
Д. 1.1. Линейное пространство над полем. 47
Вопросы и задачи. 51
2. Линейные подпространства. 55
2.1. Определение и примеры. 55
2.2. Пересечение и сумма линейных подпространств. 60
2.3. Прямая сумма линейных подпространств. 64
2.4. Размерность линейного подпространства. 66
2.5. Ранг системы векторов. 69
2.6. Линейные оболочки и системы уравнений. 71
2.7. Прямое дополнение. 74
Вопросы и задачи. 75
3. Евклидовы пространства. 78
3.1. Определение евклидова пространства. 78
3.2. Неравенство Коши - Буняковского. 82
3.3. Нормированные пространства. 84
3.4. Угол между векторами. 88
3.5. Ортогональные системы векторов. 89
3.6. Ортогональные и ортонормированные базисы. 92
3.7. Вычисления в ортонормированием базисе. 94
3.8. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. 95
3.9. Ортогональное дополнение. 100
Д.3.1. Нормы матриц. 106
Д.3.2. Метод наименьших квадратов. 112
Д.3.3. Псевдорешения и псевдообратная матрица. 116
Вопросы и задачи. 125
4. Линейные операторы. 128
4.1. Определение и примеры линейных операторов. 128
4.2. Изоморфизм линейных пространств. 134
4.3. Матрица линейного оператора. 137
4.4. Преобразование матрицы линейного оператора. 143
4.5. Произведение линейных операторов. 146
4.6. Линейные пространства линейных операторов. 148
Вопросы и задачи. 151
5. Собственные векторы и собственные значения. 155
5.1. Характеристическое уравнение матрицы. 155
5.2. Характеристическое уравнение линейного оператора. 157
5.3. Собственные векторы линейного оператора. 158
5.4. Вычисление собственных значений и собственных векторов. 162
5.5. Свойства собственных векторов. 168
Д.5.1. Жорданова нормальная форма. 176
Вопросы и задачи. 182
6. Самосопряженные операторы. 185
6.1. Сопряженный оператор. 185
6.2. Самосопряженные операторы и их матрицы. 188
6.3. Собственные векторы самосопряженного оператора. 192
Д.6.1. Инвариантные подпространства самосопряженного оператора. 194
Вопросы и задачи. 197
7. Ортогональные матрицы и операторы. 100
7.1. Ортогональные матрицы и их свойства. 199
7.2. Ортогональные операторы. 201
7.3. Матрицы перехода в евклидовом пространстве. 205
7.4. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду. 207
Вопросы и задачи. 212
8. Квадратичные формы. 214
8.1. Определение квадратичной формы. 214
8.2. Преобразование квадратичных форм. 215
8.3. Квадратичные формы канонического вида. 217
8.4. Ортогональные преобразования квадратичных форм. 220
8.5. Закон инерции. 225
8.6. Критерий Сильвестра. 228
Д.8.1. Билинейные формы. 235
Вопросы и задачи. 239
9. Кривые и поверхности второго порядка. 241
9.1. Поверхности второго порядка. 241
9.2. Изменение системы координат. 243
9.3. Упрощение уравнения поверхности второго порядка. 245
9.4. Примеры. 250
9.5. Классификация кривых второго порядка. 256
9.6. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве. 258
Вопросы и задачи. 260
10. Элементы тензорной алгебры. 262
10.1. Сопряженное пространство. 262
10.2. Полилинейные формы. 268
10.3. Тензоры. 273
10.4. Операции с тензорами. 277
Вопросы и задачи. 289
11. Итерационные методы. 291
11.1. Обусловленность квадратных матриц. 291
11.2. QR-разложение. Сингулярное разложение. 296
11.3. Описание итерационных методов. 308
11.4. Сходимость итерационных методов. 315
11.5. Скорость сходимости стационарных итерационных методов. 321
Вопросы и задачи. 324
Список рекомендуемой литературы. 326
Предметный указатель.


Размерность линейного пространства.
Эта важнейшая характеристика линейного пространства связана со свойствами систем векторов в этом пространстве.

Определение 1.5. Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называют размерностью линейного пространства.
Если размерность линейного пространства С равна п, т.е. существует линейно независимая система из п векторов, а любая система векторов, содержащая п +1 вектор или более, линейно зависима, то говорят, что это линейное пространство п-мерно. Размерность такого линейного пространства обозначают n = dim£.

Существуют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независимую систему, содержащую сколь угодно большое количество векторов. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. В отличие от них, п-мерные линейные пространства называют конечномерными. Эта книга посвящена конечномерным линейным пространствам.

Купить книгу - Линейная алгебра - Канатников А.Н. Крищенко А.П.

Купить книгу - Линейная алгебра - Канатников А.Н. Крищенко А.П.





Теги: книга по математике :: линейная алгебра :: учебник :: Канатников :: Крищенко