Функции комплексного переменного: теория и практика, справочное пособие по высшей математике, том 4, Боярчук А.К., 2001

Функции комплексного переменного: теория и практика - Справочное пособие по высшей математике. Том 4 - Боярчук А.К. - 2001

Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных - таких, как интеграл Ньютона-Лейбница и производная Ферма-Лагранжа.
Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.

Купить книгу  Функции комплексного переменного: теория и практика - Справочное пособие по высшей математике. Том 4 - Боярчук А.К. - 2001

Оглавление
Предисловие


Глава 1. Основные структуры математического анализа                              

§ 1. Элементы теории множеств и отображений                                                 
Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) Натуральные числа. Метод математической индукции (5) Простейшие операции над множествами (6) Упорядоченная пара и декартово произведение множеств (7) Бинарные отношения. Проекции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Функциональное бинарное отношение. Функция и простейшие понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфизм

§ 2. Математические структуры                                                                        
Группа (10) Кольцо (10) Тело (10) Поле (11) Векторное пространство над полем К. Нормированное пространство

§ 3. Метрические пространства                                                                        
Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) Замкнутые множества, точки прикосновения, замыкание множества

§ 4. Компактные множества   

§ 5. Связные пространства и связные множества

§ 6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое
Предел и непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Непрерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Коши. Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равномерно непрерывные отображения (24) Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния


Глава 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного

§ 1. Комплексные числа и комплексная плоскость
Определение комплексного числа (26) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел. Операция извлечения корня из комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры

§ 2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте
Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта К а С (47) Предел и непрерывность функции комплексного переменного (48) Арифметические операции над пределами и непрерывными функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте

§ 3. Непрерывные и гладкие кривые. Односвязные и многосвязные области Примеры

§ 4. Дифференцируемые функции комплексного переменного.
Связь между С-дифференцируемостью и R2 -дифференцируемостью. Аналитические функции
Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (66) Критерий дифференцируемое™ функции комплексного переменного (67) Аналитические функции (68) Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с аналитическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73)
Упражнения для самостоятельной работы


Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости

§ 1. Дробно-линейные функции и их свойства
Определение дробно-линейной функции. Конформность отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы (86) Примеры (88)

§2. Степенная функция w = z" (n e N, п > 2).
Степенная функция (91)

§ 3. Показательная функция w = e* и многозначная функция z=Ln w
Показательная функция w = e* (94) Многозначная функция z=Ln w (96)
Примеры

§ 4. Общая степенная и общая показательная функции
Общая степенная функция (97) Общая показательная функция

§ 5. Функция Жуковского
Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры

§ 6. Тригонометрические и гиперболические функции
Примеры
Упражнения для самостоятельной работы


Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости.
Интегралы Ньютона - Лейбница и Коши

§ 1. Интеграл Ньютона - Лейбница
Первообразная (149) Интеграл Ньютона - Лейбница (150) Линейность интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям

§ 2. Производные и интегралы Ньютона - Лейбница любых порядков
Определение n-производной и п-интеграла (153) Формула Ньютона - Лейбница. Производные по пределам интегрирования (154) Формула Тейлора(156)

§ 3. Производная Ферма - Лагранжа. Формула Тейлора - Пеано
Производная Ферма - Лагранжа (156) Теорема Тейлора - Пеано и ее обращение (157)

§ 4. Криволинейные интегралы
Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (759)
Гомотопия двух кривых (путей) (161)

§ 5. Теорема и интеграл Коши
Существование локальной первообразной аналитической функции
(162) Первообразная вдоль кривой (вдоль пути) (165) Теорема Коши
(166) Интегральная формула Коши (172) Примеры (173)

§ 6. Интеграл типа Коши
Определение и основное свойство интеграла типа Коши (775) Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера
(178) Главное значение и предельные значения интеграла типа Коши
(179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (184) Упражнения для самостоятельной работы


Глава 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки       

§ 1. Ряд Тейлора                                                                                             
Общие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда (199) Нормальная сходимость функционального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201) Функциональные свойства равномерной суммы функционального ряда (203) Степенные ряды (206) Теорема Тейлора (208) Теорема единственности (210) Примеры (212)

§ 2. Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций           Теорема Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (227) Поведение аналитической функции при подходе к изолированной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225) Упражнения для самостоятельной работы                                                       

Глава 6. Аналитическое продолжение                                                          
§ 1. Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути                      
Свойство единственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234) Инвариантность аналитического продолжения вдоль пути относительно гомотопных деформаций этого пути (235)

§ 2. Полные аналитические функции                                                               
Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полных аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Существование особой точки на границе круга сходимости степенного ряда (240)

§ 3. Принципы аналитического продолжения                                                   
Примеры (241) Упражнения для самостоятельной работы                              


Глава 7. Вычеты и их применения                                                               

§ 1. Определение вычета. Основная теорема                                                    
Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (246) Теорема о вычетах (247) Примеры

§ 2. Целые и мероморфные функции                                                                
Целые функции (257) Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (259) Примеры

§ 3. Бесконечные произведения                                                                       Числовые бесконечные произведения (265) Равномерно сходящиеся бесконечные произведения (267) Представление целой функции в виде бесконечного произведения (267) Разложение sinz в бесконечное произведение (26Р) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271)

§ 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов
Применение вычетов для вычисления определенных интегралов (274) Применение вычетов к вычислению сумм рядов (278) Примеры (279)
Упражнения для самостоятельной работы


Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций

§ 1. Принцип аргумента. Теорема Руше
Теорема о логарифмическом вычете (296) Принцип аргумента (296) Теорема Руше (297) Примеры

§ 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции Принцип сохранения области (300) Локальное обращение аналитических функций (301) Примеры

§ 3. Экстремальные свойства модуля аналитической функции
Принцип максимума модуля аналитической функции (304) Лемма Шварца (305) Примеры

§ 4. Принцип компактности. Функционалы на семействе аналитических функций
Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций (308) Принцип компактности (309) Функционалы, определенные на множествах функций (310) Теорема Гурвица

§ 5. Существование и единственность конформного отображения
Конформные изоморфизмы и автоморфизмы (312) Примеры автоморфизмов (312) Существование и единственность изоморфизмов областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема существования

§ 6. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении
Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (316) Примеры (317)

§ 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля - Шварца
Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322) Отображение верхней полуплоскости на внешность многоугольника (322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323) Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение единичного круга на многоугольник (326) Примеры (328)
Упражнения для самостоятельной работы

Ответы

Купить книгу  Функции комплексного переменного: теория и практика - Справочное пособие по высшей математике. Том 4 - Боярчук А.К. - 2001





Теги: функции комплексного переменного :: теория :: практика :: учебник :: пособие :: высшая математика :: том 4 :: Боярчук :: 2001 :: книга :: скачать :: индукция :: множество :: отображение :: бинарное отношение :: изоморфизм :: группа :: кольцо :: тело :: поле :: нормированное пространство :: предел :: комплексные числа :: топология :: С-дифференцируемость :: R2 -дифференцируемость :: дифференцируемость :: неравенство Лагранжа :: конформность отображения :: функция Жуковского :: интеграл Ньютона-Лейбница :: формула Тейлора :: производная Ферма-Лагранжа :: формула Тейлора-Пеано :: криволинейные интегралы :: теорема Коши :: интеграл Коши :: теорема Лиувилля :: теорема Морера :: формула Шварца :: формула Пуассона :: ряд Тейлора :: ряд Лорана :: мероморфная функция :: теорема Руше :: интеграл Кристоффеля-Шварца