Задачи по планиметрии, часть 1, Прасолов В.В., 1986

Задачи по планиметрии, Часть 1, Прасолов В.В., 1986.

   Содержит около 650 задач, по тематике близких к школьной программе. Все задачи снабжены решениями. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. В каждом цикле задачи расположены в порядке возрастания трудности, причем первые задачи цикла достаточно просты. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей теме, не читая подряд всю книгу.
Для школьников, преподавателей и студентов педагогических институтов.




Примеры.
На стороны ВС и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольник MAN подобен треугольнику АВС.

Через произвольную точку Р стороны АС треугольника АВС параллельно его медианам АК и CL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно. Докажите, что медианы АК и CL делят отрезок EF на три равные части.

На стороне ВС равностороннего треугольника АВС как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой взяты точки К и L, делящие полуокружность на равные дуги. Докажите, что прямые АК и AL делят отрезок ВС на равные части.

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие.
Указания к пользованию книгой.
Глава 1. Подобные треугольники.  
§1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми.
§2. Отношение сторон подобных треугольников.
§3. Отношение площадей подобных треугольников
§4. Вспомогательные равные треугольники.
§5. Применение свойств вписанного угла для доказательства подобия треугольников.
§6. Треугольник, образованный основаниями высот.
§7. Подобные фигуры.  
Задачи для самостоятельного решения Решения.
Глава 2. Вписанный угол.
§1. Углы, опирающиеся на равные дуги.
§2. Величина угла между двумя хордами
§3. Угол между касательной и хордой.
§4. Связь величины угла с длиной хорды и длиной дуги.
§5. Четырехугольник ABCD вписанный, если BAD+BCD=180°.
§6. Во вписанном четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны.
§7. Биссектриса угла треугольника делит дугу описанной окружности пополам.
§8. Вписанный угол применяется для доказательства того, что прямые пересекаются в одной точке.    
§9. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.
§10. Три равные пересекающиеся окружности.
§11. Разные задачи.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 3. Окружности.
§1. Касательные к окружностям.   
§2. Произведение длин отрезков хорд (секущих), проходящих через фиксированную точку.
§3. Касающиеся окружности.
§4. Углы между пересекающимися окружностями.
§5. Применения теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
§6. Площади криволинейных фигур.
§7. Радикальная ось.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 4. Площади.
§1. Площади треугольников, на которые медианы разбивают треугольник.
§2. Вспомогательные равновеликие треугольники.
§3. Вычисление площадей.
§4. Площадь помогает решить задачу.
§5. Площади образуют арифметическую прогрессию.
§6. Площади треугольников, на которые диагонали разбивают четырехугольник.
§7. Площади треугольников, на которые внутренняя точка разбивает четырехугольник.
§8. Площадь четырехугольника с вершинами на сторонах (диагоналях) четырехугольника.
§9. Прямые и окружности, делящие фигуры на равновеликие части.
§10. Формула для площади четырехугольника.
§11. Разрезания.
Задачи для самостоятельного решения Решения.
Глава 5. Векторы.
§1. Векторы сторон многоугольников
§2. Скалярное произведение. Соотношения.  
§3. Скалярное произведение. Неравенства.  
§4. Скалярное произведение. Разные задачи.
§5. Суммы векторов.
§6. Неравенства.
§7. Метод усреднения.
§8. Векторное.произведение.    
Задачи для самостоятельного решения.    
Решения.
Глава 6. Параллельный перенос.
§1. Перенос помогает решить задачу.    
§2. Построения.
§3. Геометрические места точек
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.   
Глава 7. Центральная симметрия.
§1. Симметрия помогает решить задачу.    
§2. Свойства симметрии.
§3. Симметрия помогает решить задачу. Построения.
Задачи для самостоятельного решения.     
Решения.
Глава 8. Осевая симметрия.
§1. Симметрия помогает решить задачу.
§2. Симметрия помогает решить задачу. Построения.
§3. Построения. Стороны треугольника симметричны относительно биссектрисы.  
§4. Композиции симметрий.
§5. Свойства симметрий и осей симметрии.
§6. Задачи, использующие свойства композиций симметрий.
§7. Экстремальные задачи.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 9. Поворот.  
§1. Поворот на 90°.
§2. Поворот на 60°.
§3. Повороты на произвольные углы.
§4. Композиции поворотов на 90°.
§5. Композиции поворотов на 60°.
§6. Композиции поворотов на произвольные углы.   
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 10. Гомотетия и поворотная гомотетия.
§1. Гомотетичные многоугольники.  
§2. Гомотетичные окружности.
§3. Построения и геометрические места точек.    
§4. Композиции гомотетий.
§5. Поворотная гомотетия.
§6. Центр поворотной гомотетии.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.  
Глава 11. Треугольники.
§1. Вписанные и описанные окружности.    
§2. Прямоугольные треугольники.
§3. Правильные треугольники.
§4. Теорема Чевы.
§5. Теорема Менелая.
§6. Целочисленные треугольники.
§7. Разные задачи.
Задачи для самостоятельного решения.      
Решения.
Глава 12. Многоугольники.
§1. Вписанные и описанные четырехугольники.   
§2. Четырехугольники.
§3. Шестиугольники.
§4. Метрические соотношения в правильных многоугольниках.
§5. Правильные многоугольники.
§6. Вписанные и описанные многоугольники.    
§7. Произвольные выпуклые многоугольники.    
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.     
Глава 13. Геометрические места точек.
§1. ГМТ — прямая.
§2. ГМТ — окружность (дуга окружности).
§3. Метод ГМТ.  
§4. Вспомогательные равные и подобные треугольники.
§5. Вписанный угол.
§6. Гомотетия.
§7. Нахождение ГМТ.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.
Глава 14. Построения.
§1. Метод геометрических мест точек.
§2. Вписанный угол.
§3. Подобные треугольники и гомотетия.
§4. Движения.
§5. Окружность Аполлония.
§6. Построение треугольников по различным элементам.
§7. Построение треугольников по различным точкам.
§8. Треугольники.     
§9. Четырехугольники.
§10. Построение окружностей.
§11. Необычные построения.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения. 

Купить .





Теги: задачник по математике :: математика :: Прасолов :: планиметрия