Краткий курс математического анализа, Хинчин А.Я., 1953

Краткий курс математического анализа, Хинчин А.Я., 1953.

   «Краткий курс математического анализа» должен, по замыслу автора, служить студентам механико-математических и физико-математических факультетов наших университетов (а в известной мере и пединститутов) основным руководством при изучении той научной дисциплины, которая в учебных планах именуется «математическим анализом» и содержит в себе теорию пределов и бесконечных рядов, элементы дифференциального и интегрального исчислений и простейшие приложения этих учений. Надобность в таком руководстве вызвана тем, что существующие у нас теперь уже в довольно большом числе учебники математического анализа не могут в полной мере отвечать вышеуказанному назначению. Те из них, которые доступны рядовому студенту по краткости и простоте изложения, обычно либо устарели, либо построены на недостаточной для специалистов-математиков научной базе; те же, которые стоят на вполне современном научном уровне, обычно столь громоздки и по своему содержанию так далеко выходят за пределы действующих программ, что рядовой студент I—II курса не в состоянии в них ориентироваться. Задача состояла, таким образом, в том, чтобы создать учебник, по материалу строго ограниченный обязательными для каждого изучающего рамками программы и в то же время построенный на вполне современном научном уровне.




Переменные величины.
Когда мы наблюдаем какое-либо явление природы или следим за ходом технического процесса, мы всякий раз замечаем, что величины, участвующие в этом явлении или процессе, обнаруживают весьма различное поведение. Одни из них с течением процесса не меняются, сохраняют, как говорят, «постоянные значения», в то время как другие претерпевают более или менее значительные изменения, становятся то больше, то меньше, или, как говорят, «принимают различные значения». Если мы будем подогревать газ, заключенный в плотно закрытый сосуд, то объем его будет сохранять постоянное значение; постоянным будет оставаться и число молекул газа; напротив, температура газа и его упругость будут при этом расти, принимая все большие и большие значения. Картина станет более многообразной, если от простого лабораторного опыта мы перейдем к сложному техническому процессу.

Рассмотрим, например, полет самолета. В этом явлении участвует очень много различных величин. Некоторые из них в течение полета сохраняют постоянное значение; таковы число пассажиров, вес их багажа, размах крыльев самолета и многие другие. Однако с этим полетом связано еще больше таких величин, которые с течением процесса изменяются, становясь то больше, то меньше. Таковы, например, расстояния самолета от места вылета и от цели полета, высота его над землей, запас горючего, температура, давление и влажность окружающего воздуха и многие другие. Уже этот перечень показывает, что для наших практических целей, для технического и экономического расчета данного явления именно эти изменяющиеся величины имеют важнейшее значение. Это и понятно. Жизнь природы состоит в непрестанном изменении, а практическая деятельность человека направлена на изменение окружающего мира. Явления и процессы, в которых ничего или почти ничего не изменяется, поэтому мало поучительны в научном отношении и не представляют практического интереса. Диалектические принципы изучения природы диктуют нам изучение ее явлений не столько в мгновенном их разрезе, сколько в самом их течении; диалектический метод в естествознании ставит вопрос не только о том, какова картина явления в данный момент, но в первую очередь о том, каково общее течение явления, что и как в этом явлении изменяется. Математика, поскольку она хочет быть действенным орудием точного естествознания и техники, должна поэтому создать аппарат, позволяющий систематически изучать происходящие в природе и в технических процессах изменения величин.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
Глава 1. Функции.
§1. Переменные величины.
§2. Функции.
§3. Область определения функции.
§4. Функция и формула.
§5. Геометрическое изображение функций.
§6. Элементарные функции.
Глава 2. Элементарная теория пределов.
§7. Бесконечно малые величины.
§8. Операции над бесконечно малыми величинами.
§9. Бесконечно большие величины.
§10. Величины, стремящиеся к пределам.
§11. Операции над величинами, стремящимися к пределам.
§12. Бесконечно малые и бесконечно большие различных порядков.
Глава 3. Уточнение и расширение идеи предельного перехода.
§13. Математическое описание процесса.
§14. Уточнение понятия предела.
§15. Расширение идеи предельного перехода.
Глава 4. Вещественные числа.
§16. Необходимость создания общей теории вещественных чисел.
§17. Построение континуума.
§18. Основные леммы.
§19. Завершение теории пределов.
Глава 5. Непрерывность функций.
§20. Определение непрерывности.
§21. Операции над непрерывными функциями.
§22. Непрерывность сложной функции.
§23. Важнейшие свойства непрерывных функций.
§24. Непрерывность элементарных функций.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Глава 6. Производная.
§25. Равномерное и неравномерное изменение функций.
§26. Мгновенная скорость неравномерного движения.
§27. Локальная плотность неоднородного стержня.
§28. Определение производной.
§29. Правила дифференцирования.
§30. Вопросы существования и геометрическая иллюстрация.
Глава 7. Дифференциал.
§31. Определение и связь с производной.
§32. Геометрическая иллюстрация и правила вычисления.
§33. Инвариантный характер связи производной с дифференциалами.
Глава 8. Производные и дифференциалы высших порядков.
§34. Производные высших порядков.
§35. Дифференциалы высших порядков и их связь с производными.
Глава 9. Теоремы о средних значениях.
§36. Теорема о конечном приращении.
§37. Вычисление пределов отношений бесконечно малых и бесконечно больших.
§38. Формула Тэйлора.
§39. Остаточный член формулы Тэйлора.
Глава 10. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
§40. Возрастание и убывание функций.
§41. Экстремальные значения.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Глава 11. Обращение операции дифференцирования.
§42. Понятие примитивной функции.
§43. Простейшие общие приемы интегрирования.
Глава 12. Интеграл.
§44. Площадь криволинейной трапеции.
§45. Работа переменной силы.
§46. Общее понятие интеграла.
§47. Верхние и нижние суммы.
§48. Интегрируемость функций.
Глава 13. Связь интеграла с примитивной функцией.
§49. Простейшие свойства интеграла.
§50. Связь интеграла с примитивной функцией.
§51. Дальнейшие свойства интегралов.
Глава 14. Геометрические и механические приложения интеграла.
§52. Длина дуги плоской кривой.
§53. Длина дуги пространственной кривой.
§54. Масса, центр тяжести и моменты инерции материализованной плоской кривой.
§55. Объемы геометрических тел.
Глава 15. Приближенное вычисление интегралов.
§56. Постановка задачи.
§57. Способ трапеций.
§58. Способ парабол.
Глава 16. Интегрирование рациональных функций.
§59. Алгебраическое введение.
§60. Интегрирование простых дробей.
§61. Прием Остроградского.
Глава 17. Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций.
§62. Интеграция функций вида R (x, /ax+b/cx+b).
§63. Интеграция функций вида R (x, /ax2+bx+c).
§64. Примитивные биномиальных дифференциалов.
§65. Интегрирование тригонометрических дифференциалов.
§66. Интегрирование дифференциалов, содержащих показательные функции.
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Глава 18. Бесконечные ряды чисел.
§67. Основные понятия.
§68. Знакопостоянные ряды.
§69. Знакопеременные ряды.
§70. Операции над рядами.
§71. Бесконечные произведения.
Глава 19. Бесконечные ряды функций.
§72. Область сходимости функционального ряда.
§73. Равномерная сходимость.
§74. Непрерывность суммы функционального ряда.
§75. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Глава 20. Степенные ряды и ряды многочленов.
§76. Область сходимости степенного ряда.
§77. Равномерная сходимость и ее следствия.
§78. Разложение функций в степенные ряды.
§79. Ряды многочленов.
§80. Теорема Вейерштрасса.
Глава 21. Тригонометрические ряды.
§81. Коэффициенты Фурье.
§82. Приближение в среднем.
§83. Теорема Дирихле — Ляпунова о замкнутости тригонометрической системы.
§84. Сходимость рядов Фурье.
§85. Обобщенные тригонометрические ряды.
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Глава 22. Дифференцирование функций нескольких переменных.
§86. Непрерывность функции нескольких независимых переменных.
§87. Двумерный континуум.
§88. Свойства непрерывных функций.
§89. Частные производные.
§90. Дифференциал.
§91. Производная по любому направлению.
§92. Дифференцирование сложных и неявных функций.
§93. Однородные функции и теорема Эйлера.
§94. Частные производные высших порядков.
§95. Формула Тэйлора для функций двух переменных.
§96. Экстремальные значения.
Глава 23. Простейшие геометрические приложения дифференциального исчисления.
§97. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой.
§98. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой.
§99. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
§100. Направление выпуклости и вогнутости кривой.
§101. Кривизна плоской кривой.
§102. Соприкасающийся круг.
Глава 24. Неявные функции.
§103. Простейшая задача.
§104. Общая задача.
§105. Определители Остроградского.
§106. Условный экстремум.
РАЗДЕЛ ШЕСТОЙ ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Глава 25. Обобщенные интегралы.
§107. Интегралы с бесконечными пределами.
§108. Интегралы неограниченных функций.
Глава 26. Интегралы как функции параметров.
§109. Интегралы с конечными пределами.
§110. Интегралы с бесконечными пределами.
§111. Примеры.
§112. Интегралы Эйлера.
§113. Формула Стирлинга.
Глава 27. Двойные и тройные интегралы.
§114. Измеримые плоские фигуры.
§115. Объемы цилиндрических тел.
§116. Двойной интеграл.
§117. Вычисление двойных интегралов с помощью двукратного простого интегрирования.
§118. Замена переменных в двойном интеграле.
§119. Тройные интегралы.
§120. Приложения.
Глава 28. Криволинейные интегралы.
§121. Определение плоского криволинейного интеграла.
§122. Работа плоского силового поля.
§123. Формула Грина.
§124. Применение к дифференциалам функций двух переменных.
§125. Пространственные криволинейные интегралы.
Глава 29. Поверхностные интегралы.
§126. Простейший случай.
§127. Общее определение поверхностного интеграла.
§128. Формула Остроградского.
§129. Формула Стокса.
§130. Элементы теории поля.
Заключение. Краткий исторический очерк.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Краткий курс математического анализа, Хинчин А.Я., 1953 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Хинчин