Сборник задач по теории функций комплексного переменного, Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г., 2006

Сборник задач по теории функций комплексного переменного, Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г., 2006.

   Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.
Третье издание — 1975 г.
Для студентов высших учебных заведений.




Примеры.
Пусть К — окружность на плоскости, соответствующая окружности К' на сфере, N — северный полюс сферы, S — вершина конуса, касающегося сферы вдоль К' (предполагается, что К' не является большим кругом). Доказать, что центр окружности К лежит на луче NS. Рассмотреть случай, когда К' — большой круг.

Даны две точки z1 и z2 (одна из них может быть бесконечно удаленной). Найти геометрическое место точек z-плоскости, которому на сфере соответствует окружность, равноудаленная от образов данных точек.

Найти общую форму целого линейного преобразования, переводящего:
1) верхнюю полуплоскость на себя;
2) верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость;
3) верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость;
4) правую полуплоскость на себя.
Показать, что во всех случаях преобразование однозначно определяется заданием одной пары соответственных внутренних точек или двух пар граничных.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
ГЛАВА I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
§1. Комплексные числа.
§2. Элементарные трансцендентные функции.
§3. Последовательности и числовые ряды.
§4. Функции комплексного переменного.
§5. Аналитические и гармонические функции.
ГЛАВА II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ.
§1. Линейные функции.
§2. Дополнительные вопросы теории линейных преобразований
§3. Рациональные и алгебраические функции.
§4. Элементарные трансцендентные функции.
§5. Границы однолистности, выпуклости и звездности.
ГЛАВА III. ИНТЕГРАЛЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
§1. Интегрирование функций комплексного переменного.
§2. Интегральная теорема Коши.
§3. Интегральная формула Коши.
§4. Степенные ряды.
§5. Ряд Тейлора.
§6. Некоторые приложения интегральной формулы Коши и степенных рядов.
ГЛАВА IV. РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.
§1. Ряд Лорана.
§2. Особые точки однозначных аналитических функций.
§3. Вычисление вычетов.
§4. Вычисление интегралов.
§5. Распределение нулей. Обращение рядов.
ГЛАВА V. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
§1. Функциональные ряды.
§2. Ряды Дирихле.
§3. Интегралы, зависящие от параметра.
ГЛАВА VI. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ.
§1. Бесконечные произведения.
§2. Разложение в ряды простых дробей и в бесконечные произведения. Суммирование рядов.
§3. Характеристики роста целых функций.
ГЛАВА VII. ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА.
§1. Интегралы типа Коши.
§2. Интеграл Дирихле, гармонические функции, логарифмический потенциал и функция Грина.
§3. Интеграл Пуассона, формула Шварца, гармоническая мера.
ГЛАВА VIII. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ.
§1. Аналитическое продолжение.
§2. Особые точки многозначного характера. Римановы поверхности.
ГЛАВА IX. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ).
§1. Формула Кристоффеля-Шварца.
§2. Конформные отображения, осуществляемые с помощью эллиптических функций.
ГЛАВА X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ.
§1. Приложения к гидромеханике.
§2. Приложения к электростатике.
§3. Приложения к плоской задаче о распределении тепла.
ГЛАВА XI. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§1. Квазиконформные отображения.
§2. Обобщенные аналитические функции.
§3. Некоторые интегральные соотношения и двойные интегралы.
Ответы и решения.

Купить .





Теги: задачник по математике :: математика :: Волковыский :: Лунц :: Араманович