Введение в тензорный анализ и риманову геометрию, Абрамов А.А., 2012

Параллельный перенос.
Ковариантное дифференцирование
Ранее мы подчеркивали, что для гладкого многообразия Xn, не оснащенного никакими дополнительными структурами, касательные пространства в разных точках не имеют друг к другу никакого отношения. В 1917 году Туллио Леви-Чивита сделал замечательное открытие: он выяснил, что введение римановой метрики в Xn дает возможность установить естественную связь между касательными пространствами в двух бесконечно близких точках. Эта связь фиксирует некоторый изоморфизм между такими касательными пространствами и дает возможность переносить вектор из одного касательного пространства в касательное пространство в бесконечно близкой точке; Такой перенос называется параллельным переносом в пространстве Vn.

Существуют различные способы введения этого параллельного переноса. Мы изберем следующий путь. Выведем формулы для параллельного переноса в Hn в криволинейной системе координат (в Я” параллельный перенос определен структурой линейного пространства). Окажется, что эти формулы содержат кроме координат переносимого вектора еще координаты метрического тензора и их первые производные. Для произвольного Vn определим параллельный перенос, используя именно эти формулы. Докажем, что так определенный параллельный перенос не зависит от выбора системы координат.

Оглавление
Предисловие
Глава 1. Тензорная алгебра
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
1. Определение тензора
2. Соглашение об обозначениях
3. Алгебраические операции над тензорами
4. Другие возможности определения тензора
§ 2. Ориентация. Псевдотензоры
1. Ориентация
2. Псевдотензоры
§ 3. Тензоры в евклидовом пространстве
1. Общие соображения
2. Метрический тензор
3. Опускание и поднятие индексов
4. корень из g
Глава 2. Тензорный анализ
§ 1. Основные понятия
1. Гладкое многообразие
2. Касательное пространство
3. Тензорное поле
4. Векторное поле (пример тензорного поля)
5. Ориентация. Псевдотензорное поле
§ 2. Тензорные дифференциальные операции
1. Предварительные соображения и примеры
2. Определение тензорных дифференциальных операций в Xn
3. Некоторые дополнения
§ 3. Внешние дифференциальные формы
1. Антисимметричное ковариантное тензорное поле
2. Внешняя дифференциальная форма
3. Зачем нужны внешние дифференциальные формы
4. О псевдоформах
§ 4. Интегрирование
1. Интеграл и его свойства
2. Теорема Стокса-Пуанкаре
3. Об интеграле от дифференциальной псевдоформы
4. О теоремах Ньютона-Лейбница, Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса
Глава 3. Риманова геометрия
§ 1. Риманово пространство
1. Основные понятия
2. Подпространства Vn
3. Геодезическая
§ 2. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование
1.Формулы для параллельного переноса в Hn в криволинейной системе координат
2. Определение параллельного переноса в Vn
3. Параллельный перенос произвольных тензоров в Vn
4. Ковариантное дифференцирование
5. Связь между параллельным переносом в Vn и Vm, если Vm погружено в Vn
6. Координаты, геодезические в точке
7. Некоторые важные факты и формулы
§ 3. Тензор кривизны
1. Определение тензора кривизны
2. Аналитические свойства тензора кривизны
3. Геометрический смысл тензора кривизны
4. Условие того, что Vn - локально евклидово
§ 4. Коротко о пространствах аффинной связности
§ 5. Пространство V2
1. V2, общие свойства кривизны
2. V2, погруженное в H3. Сферическое отображение
Дополнение. Топологические инварианты римановых пространств, получаемые интегрированием тензорных полей, строящихся по метрическому тензору
1. Полный интеграл от гауссовой кривизны
2. Интеграл Аллендорфера-Вейля
3. Тензорные поля Понтрягина
4. Существуют ли еще какие-либо тензорные поля, строящиеся по метрическому тензору и его производным и дающие дифференциально-топологические инварианты?
5. О топологической инвариантности дифференциально-топологических инвариантов, рассмотренных в пунктах 1-3.

Купить книгу Введение в тензорный анализ и риманову геометрию, Абрамов А.А., 2012 .

Купить книгу Введение в тензорный анализ и риманову геометрию, Абрамов А.А., 2012 .