Алгебра и начало математического анализа, 11 класс, дидактические материалы, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2008

Алгебра и начало математического анализа, 11 класс, Дидактические материалы, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2008.

    Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику "Алгебра и начала математического анализа, 11" С.М.Никольского и др. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы в классах с углубленным изучением математики. В книгу включены также материалы для подготовки к самостоятельным работам с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельных работ. Поэтому сборник можно использовать при работе по любому учебнику, а также для самообразования.

Пример.
Число 90 представим в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы первое число было в 2 раза больше второго, а произведение всех трех чисел было наибольшим.
Решение. Обозначим первые два числа через 2х и х (х>0). Тогда третье число равно 90-Зх, а так как 90-3х>0, то х<30. Вычислим произведение трех чисел: 2х*х*(90- 3х) = 180х2 - 6х3 = 6 (30х2 - х3).
Произведение трех чисел будет наибольшим при том значении х, при котором функция f(х) = 30х2-х3 достигает своего наибольшего значения на интервале (0; 30).

Производная функции f(x) существует в любой точке промежутка (0; 30), вычислим ее: f'(х) = (30х2-х3)' = = 60х-3х2. Производная обращается в нуль только в одной точке х0 = 20 этого промежутка. Это единственная критическая точка функции на промежутке (0; 30). Определим знак производной на интервалах (0; 20) и (20; 30) и промежутки монотонности функции f(x) (рис. 25).

Так как в точке х0 = 20 производная меняет знак с «+» на «-», то х0 = 20 — точка локального максимума функции, а так как она единственная, то в ней функция достигает своего наибольшего значения.
Следовательно, число 90 можно единственным образом представить в виде суммы согласно условиям задачи так: 90 = 40 + 20 + 30.
Ответ. 90 = 40 + 20 + 30.

Содержание
Предисловие 3
Раздел I. Материалы для подготовки к самостоятельным работам 4
1*. Сложная функция —
2. Область определения функции 5
3. Область изменения функции 7
4. Четные и нечетные функции 8
5*. Задачи с параметром. Использование четности функций 9
6. Промежутки монотонности функции. Промежутки знакопостоянства функции 11
7. Построение графиков функций 12
8*. Графики функций, содержащих модули 14
9*. Задачи с параметром. Использование графиков функций 16
10. Предел функции 18
11. Обратные функции 19
12. Производные элементарных функций 21
13. Производная сложной функции 22
14*. Производная сложной функции (продолжение) 24
15. Максимум и минимум функции на отрезке 25
16. Уравнение касательной к графику функции 27
17. Приближенные вычисления 30
18. Исследование функций с помощью производной
19. Задачи на максимум и минимум 32
20*. Геометрические задачи на максимум и минимум 34
21*. Задачи на смеси (на максимум и минимум) 37
22. Исследование функции с помощью производной и построение ее графика 38
23*. Решение задач с помощью производной 40
24. Первообразная. Неопределенный интеграл 43
25*. Нахождение неопределенных интегралов с помощью подстановки 44
26. Геометрический смысл определенного интеграла 46
27. Формула Ньютона—Лейбница 48
28. Свойства определенного интеграла 50
29. Равносильные преобразования уравнений 53
30. Равносильные преобразования неравенств 54
31. Уравнения-следствия 56
32. Уравнения-следствия (продолжение) 58
33. Решение уравнений с помощью систем 62
34. Решение уравнений с помощью систем (продолжение) 64
35*. Уравнения вида f(a(x)) = f(P(x)) 67
36. Решение неравенств с помощью систем 69
37. Решение неравенств с помощью систем (продолжение) 71
38*. Неравенства вида f(а(х))>f((3(х)) 73
39. Равносильность уравнений на множествах 75
40*. Равносильность уравнений на множествах (продолжение) 78
41. Равносильность неравенств на множествах 82
42*. Равносильность неравенств на множествах (продолжение) 85
43. Уравнения и неравенства с модулями 89
44*. Уравнения вида (р((р(х)) = х 92
45. Метод интервалов для непрерывных функций 94
46*. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств 95
47*. Рассуждения с числовыми значениями при решении уравнений и неравенств 97
48. Системы уравнений с несколькими неизвестными 101
49*. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений 104
50*. Уравнения, неравенства, системы с параметром 106
Раздел II. Самостоятельные работы 109
Раздел III. Контрольные работы 164
Итоговый тест для самоконтроля 178
Ответы к контрольным работам 183
Ответы к итоговому тесту 187.

Купить книгу Алгебра и начало математического анализа, 11 класс, Дидактические материалы, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2008 .

Купить книгу Алгебра и начало математического анализа, 11 класс, Дидактические материалы, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2008 .





Теги: контрольные по алгебре :: алгебра :: Потапов :: Шевкин :: 11 класс